ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод конечных элементов из "Электронная и ионная оптика " Пусть потенциал меняется линейно внутри каждого треугольного элемента. Тогда линейные функции могут быть состыкованы так, что полученное распределение потенциала будет непрерывным во всей области. Вклад в функционал от каждого элемента может быть выражен через потенциалы в узлах. Минимизация функционала дает тогда систему линейных алгебраических уравнений относительно этих потенциалов. Решая эту систему одним из методов, описанных в предыдущем разделе, получим искомое распределение потенциала. [c.155] Поскольку определение поля есть непрерывная задача, сформулированная в виде уравнения в частных производных, первое, что мы должны сделать, — это найти вариационный принцип, приводящий к построению нужного функционала. Нам уже известны некоторые вариационные принципы (принцип Гамильтона и принцип Мопертюи были введены в разд. 1.3). Мы знаем также, что в состоянии устойчивого механического равновесия должна быть минимальна потенциальная энергия, в термодинамической системе при постоянных объеме и температуре минимальна свободная энергия и т. д. Поэтому естественно выбрать в качестве функционала, используемого при расчетах полей, интеграл от величины, имеющей размерность энергии. [c.155] Несомненным преимуществом метода конечных элементов перед методом конечных разностей является простота постановки граничных условий и рассмотрения сложных электродных или полюсных конфигураций, обусловленная возможностью произвольно изменять как форму элемен- Рис. 40. Конечные элементы. [c.157] Рассмотрим вначале метод конечных элементов на примере двумерного электростатического поля, а затем распространим его на случай осевой симметрии, включая магнитные поля с токами и ферромагнитными материалами. [c.158] Заметим, что S есть площадь треугольника. Такая запись означает, что на потенциал в некотором узле влияют только соседние узлы. [c.158] Здесь индексы +1 и 1 + 2 следует понимать как циклические в соответствии с тем, как было введено в связи с (2.41). [c.160] Уравнения (3.354) и (3.355), записанные для каждого внутреннего узла, образуют систему N линейных алгебраических уравнений для N узловых потенциалов. Эту систему можно решать методом исключения Гаусса или любым другим методом из обсужденных в предыдущем разделе. [c.161] В случае насыщения необходимо использовать функционал Wн, определенный в (3.339) [123]. Так как намагничивание нелинейно, то и уравнения, полученные на основе этого функционала, также нелинейны. Система нелинейных алгебраических уравнений также может быть решена численными методами. [c.161] Очень важно правильно выбрать форму и плотность конечных элементов. Они должны заполнять все магнитные материалы и возбуждающие обмотки. Плотность должна быть наибольшей в критической области полюсных наконечников, где требуется максимальная точность. Удобно выбирать элементы таким образом, чтобы линии их границ совпадали с границами магнитных цепей. [c.161] Возможность полного описания нелинейных магнитных полей, несомненно, является наивысшим достижением применения метода конечных элементов в электронной и ионной оптике. Кроме того, уравнения данного метода автоматически учитывают локальные изменения магнитной проницаемости они могут быть выражены через векторные потенциалы с тем, чтобы включать в расчет катушки возбуждения форма конечных элементов может быть подогнана к самой сложной форме границ и т. д. Следовательно, в рамках метода можно полностью анализировать целые магнитные системы. [c.161] Метод конечных элементов успешно применялся при проектировании магнитных и электростатических линз [123] и отклоняющих систем [96]. Проектировались сверхпроводящие магнитные линзы, а также электростатические линзы для холодноэмиссионных пушек и фильтров энергии электронов. В магнитных линзах, работающих в режиме насыщения, были найдены необычные распределения осевых потоков, обусловленные большим потоком утечки вблизи оси. [c.161] Вследствие того что весьма обременительно использовать метод конечных разностей в случае сложных границ, а преимущества метода конечных элементов вполне очевидны в случае нелинейных магнитных материалов, но, с другой стороны, точность метода конечных разностей существенно выше, последователи и противники обоих методов иногда сталкиваются друг с другом почти с религиозным пылом. По нашему мнению, выбор между двумя методами должен зависеть от конкретной задачи. Очевидно, метод конечных элементов больше подходит для нелинейных магнитных задач, в то время как методу конечных разностей следует отдавать предпочтение при вычислении электростатических полей. [c.162] Существует, однако, гораздо более существенный недостаток, в равной степени ограничивающий возможности обоих методов они эффективны только для закрытых систем. В разд. 3.3.2 отмечалось, что наиболее серьезные проблемы в методе конечных разностей возникают при попытке вычислить распределение поля в открытой системе. К сожалению, это справедливо и для метода конечных элементов. Если фокусирующий или отклоняющий элемент не окружен экраном, в вычислениях появляются большие ошибки. Действительно, оба метода требуют введения граничных условий всюду вокруг интересующей области. Для открытой системы приходится вводить некоторую функцию потенциала вдоль открытых границ. Если, например, положить потенциал нулевым на открытой границе, то условие, справедливое на бесконечности, перемещается ближе к самой системе. Это может внести очень серьезные ошибки. Мы уже обсуждали в разд. 3.1.2.2 ограничения, свойственные другим способам введения граничного потенциала. Всегда можно, конечно, предположить наличие эквипотенциального экрана вокруг системы, но такое дополнение неизбежно исказит поле открытой системы. Поэтому предположения такого рода ведут к существенным отличиям формулировки задачи от первоначальной. [c.162] Чтобы оценить точность метода при вычислении магнитного поля, полезно сравнить результаты вычислений криволинейного интеграла (3.230) для распределения поля с реальным числом ампер-витков. Сравнение аксиального распределения поля в случае простой петли тока, вычисленного в рамках метода конечных элементов, с точным результатом (3.255) обнаруживает расхождение 10%, что, безусловно, слишком много. [c.163] Дополнительная информация о методе конечных элементов может быть найдена в литературе [ПО, 115, 121—123, 127, 128]. [c.163] Вернуться к основной статье