ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Идеальные мультиполи из "Электронная и ионная оптика " Здесь uy определяется соотношением (3.198). Соотношение (3.212) также прямо следует из (3.199) при = 0 и 1. [c.107] Рассмотрим 2Л -мультиполь с N дополнительными плокостя-ми антисимметрии. Как мы видели в предыдущем разделе, наличие плоскостей антисимметрии ведет к исчезновению всех членов, целых кратных N. Поэтому симметрично-антисимметрич-ные квадруполи имеют только 2, 6, 10-ю и т. д. гармоники. [c.107] ПИ (см. разд. 3.2.2.2), подтвердили результаты наших вычислений. [c.108] Естественно, при использовании другой геометрической конфигурации необходимо оптимизировать другие параметры. Значительное количество работ было посвящено этой проблеме для различных конфигураций, особенно для квадруполей. Обычно используются четыре цилиндрических стержня [78], но в то же время предлагались и весьма сложные поверхности [79] для компенсации отсутствующих частей неограниченных гиперболических поверхностей. В результате всегда получается четырехполюсная конфигурация со стремящейся к нулю додекапольной компонентой, но ненулевыми аю, ац и т. д. коэффициентами. [c.108] Существенное улучшение картины поля возможно только в том случае, если отбросить аналитический подход и попытаться использовать метод синтеза [64]. Начнем с идеального распределения потенциала и попробуем воспроизвести его безотносительно к количеству полюсов. В самом деле, как мы видели в разд. 3.1.1.3, наиболее важной характеристикой квадруполя является не количество полюсов, а наличие в точности двух взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии с добавлением двух плоскостей антисимметрии, гарантирующих отсутствие 4п-х членов. В таком случае следует простое решение набор большого количества простых электродов с определенным потенциалом лучше аппроксимирует идеальный квадруполь, чем система из четырех сложных электродов. Чем больше количество электродов (полюсов), тем лучше аппроксимация идеального квадруполя. Ниже мы покажем, что, используя всего 12 электродов, можно воспроизвести квадруполь, высшие гармоники которого начинаются с 14-й. [c.108] Тем не менее можно улучшить степень приближения к идеальному квадруполю, используя большее количество электродов (полюсов). Мы задаем потенциалы на электродах равными значениям потенциалов идеального квадруполя в центрах соответствующих электродов. Можно показать, что в общем случае, если имеется М электродов, первыми тремя ненулевыми коэффициентами будут 2, Af-t-2 и 2Af-2. [c.109] Обычно это имеет место для всех физически разумных функций. Для аналитических функций углы между пересекающимися кривыми в плоскости ху сохраняются и между соответствующими кривыми в плоскости UV. Поэтому ортогональные семейства кривых (например, эквипотенциальные и силовые линии) в одной плоскости останутся ортогональными при отображении в другую плоскость, хотя и могут быть соверщенно искажены в целом. Преобразование этого вида называется конформным отображением или конформным преобразованием. [c.111] Из простого дифференцирования соотнощения (3.219) следует, что обе функции и х, у) и v x, у) удовлетворяют уравнению Лапласа. Поэтому обе они являются потенциальными функциями. Это очень важное заключение. Оно означает, что можно построить бесконечное количество потенциальных функций, взяв просто действительную и мнимую части любой аналитической функции. Трудность, естественно, заключается в удовлетворении заданным граничным условиям. [c.111] Метод конформных преобразований основан на отображении плоскости ху в плоскость ии с помощью аналитических функций, рещении задачи в этой плоскости (нахождении потенциала как функции координат ы и и), что преобразует сложную задачу в другую, с более простыми граничными условиями, и последующем обратном преобразовании решения в плоскость ху. Обычный подход заключается в исследовании различных преобразований и последующем поиске задач, которые могут быть решены с помощью этих преобразований. Таким образом, функция f w)= nw решает задачу о нахождении потенциала бесконечной заряженной нити, /(ш) = 1/ш позволяет найти поле двух параллельных заряженных нитей, с противоположными зарядами /(ш)=г / , определить поле заряженного прямого угла и т. п. Это не очень эффективный путь, в особенности если вспомнить, что он применим только к планарным полям. Тем не менее этот метод оказался весьма полезным при конструировании мультиполей, ограниченных прямыми линиями [79]. Метод, используемый для решения задач этого типа, называется преобразованием Шварца — Кристофеля. [c.112] Используя эти общие соотношения, можно сразу получить уравнения (3.221) и (3.222) из (3.220). [c.112] Вернуться к основной статье