ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Методы решения плоских задач из "Механика в ссср за 50 лет Том3 Механика деформируемого твердого тела " Из сказанного выше ясно, что методы решения плоских задач применимы иногда почти без всяких изменений к задачам изгиба тонких пластинок. Эта возможность впервые была использована А. И. Лурье (1928). [c.44] Функцию, голоморфную как в так и в и обладающую непрерывными предельными значениями F и F , на.чывают, следуя Н. И. Мусхелишвили, кусойно-голоморфной. Пример кусочно-голоморфной функции дает при известных условиях относительно функции / (t) интеграл (5.13). [c.45] Непосредственной проверкой условий Коши — Римана легко убедиться, что функция / (z) голоморфна в области S , включая бесконечно удаленную точку. Наоборот, если функция / (z) голоморфна в S , то / (z) будет голоморфной от z в области S . [c.45] Обозначение (5.16) можно применить и в более общем случае, когда, например, / (z) имеет внутри 5+ конечное число полюсов. Функция / (z) будет тогда обладать полюсами тех же порядков в точках, являющихся отражением полюсов / (z) в единичной окружности. [c.45] Операция (5.16) дает один из возможных способов конструирования голоморфной в 5 функции по заданной / (г), голоморфной в 5 +. Очевидно, что распространение голоморфной в круге функции на его внешность может быть осуш ествлено бесчисленным множеством способов. Однако именно указанный способ распространения является одним из немногих, которые полезны в приложениях. [c.46] В ряде специальных случаев, особенно при изучении многосвязных сред, представляется целесообразным привлечение к рассмотрению того или иного сочетания методов. [c.46] Дадим ниже краткое описание указанных методов. [c.46] Доказано, что бесконечная система линейных уравнений (5.25) разрешима, если соблюдены условия статики, и что ее решение, вместе с (5.26) дает решение рассматриваемой плоской задачи при достаточной гладкости заданной функции / ( ). [c.47] Задача сводится к решению конечной системы (5.28). [c.47] Указанный прием, очевидно, применим и в случае отображения на круговое кольцо. [c.47] Доказано, что при фиксированной постоянной Тт Гф (0))/ (0)] уравнение (5.30) однозначно определяет функцию ф ( ). После ее определения функция ф ( ) находится непосредственно из (5.22) с помощью интеграла Коши. [c.48] Функциональное уравнение (5.30) позволяет строить совершенно элементарными средствами точные решения задачи для широкого класса областей. Приближенное же решение можно в принципе получать для самого общего случая односвязной области. [c.48] Так как точка в интеграле (5,30) лежит внутри у, этот интеграл вычисляется в конечном виде и будет представлять собой рациональную функцию, содержащую некоторое число неизвестных коэффициентов разложения ф ( ), Для этих коэффициентов составляется конечная система линейных уравнений, откуда они всегда могут быть определены вполне однозначно. [c.48] Если функция со ( ) не рациональна, но разложение ее в круге известно, метод приводит к бесконечной системе линейных уравнений, а это позволяет строить приближённое решение задачи с любой заданной точностью. [c.49] Интегральное уравнение Фредгольма относительно ф (су) можно немедленно получить из функционального уравнения (5.30), предварительно записав его в несколько ином виде и затем устремив точку изнутри к точке окружности у (Н. И. Мусхелишвили, 1966, 79). Элементарное исследование этого интегрального уравнения позволяет доказать существование его решения (следовательно, и существование решения соответствующей плоской задачи), если, разумеется, в случае первой задачи для конечной среды соблюдены условия статики. Более подробное исследование этого уравнения провел Д. И. Шерман (1938). Он изучил распределение характеристических чисел интегрального уравнения и доказал, что оно разрешимо для обеих основных задач методом последовательных приближений. [c.49] Более общим, охватывающим случай многосвязных областей является метод приведения к интегральным уравнениям, не требующий предварительного конформного отображения. Один из таких методов был предложен Н. И. Мусхелишвили (1966, 98). Сущность его мы разъясним в предположении, что среда конечна и односвязна. [c.49] Весьма сходное внешне с предыдущим, но по существу совершенно другое уравнение плоской задачи было иным путем построено Д. И. Шерманом, (1940), о чем мы скажем более подробно ниже. [c.49] Интегральное уравнение плоской задачи, также пригодное для любой многосвязной области, было построено еще раньше С. Г. Михлиным (1934, 1935). Для этой цели в рассмотрение вводится так называемая комплексная функция Грина, а затем с ее помощью — обобщенное ядро Шварца, аналитическое в области, но неоднозначное. В многосвязной области обобщенное ядро обладает свойством, аналогичным свойству обычного ядра Шварца для круга. Уравнение Михлина для односвязной области совпадает с уравнением (5.32). С. Г. Михлин провел исследование построенных уравнений была доказана их разрешимость, а также применимость для их решения метода последовательных приближений. Результаты изложены в его монографии (1949), где содержатся т кже применения ядра Шварца к решению плоской задачи в ряде частных случаев. [c.50] Исследования Л. Г. Магнарадзе (1937, 1938) показали, что уравнение Мусхелишвили сохраняет силу и в случае углов у границы, если интегралы, содержащиеся в уравнении, понимать в некотором обобщенном смысле. [c.50] Вернуться к основной статье