ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Интегральные уравнения пространственной задачи из "Механика в ссср за 50 лет Том3 Механика деформируемого твердого тела " Далее в этом очерке будут рассмотрены лишь первая и вторая краевые задачи пространственной теории упругости для изотропной однородной среды. Мы ограничимся при этом внутренней задачей ( ) для односвязного конечного объема (7 ) и внешней (е) для бесконечной среды (Уе), снабженной полостью. Предполагается гладкость поверхности О, ограничивающей Vi извне (Уе — изнутри). [c.12] Очевидно, что А Q) ж В Q) при Q lO представляют решения уравнения теории упругости в перемещениях при отсутствии массовых сил. [c.13] ЭТО — вектор перемещения в Q под действием приложенной в начале координат силы, задаваемой интегралом по О от плотности а М). [c.13] Второй потенциал при Q - Qoo обращается в нуль не медленнее, чем r q, И его можно трактовать как перемещение, создаваемое системой сил, распределенных по поверхности О, с равным нулю главным вектором. [c.13] Вместе с тем Ь (М) = — (М) является решением уравнения (1.42), когда поверхность О перемещается как твердое тело, тогда весь объем Fj также перемещается как твердое тело что следует из (1.41) и (1.36) при б Q) = 1. [c.14] Выше указывалось, что интегралы в векторных уравнениях (1.42)— —(1.43), (1.47) —(1.48) рассматриваются в смысле их главных значений — эти системы уравнений сингулярны. Трудность дальнейшего исследования состоит в доказательствах применимости к ним теорем и альтернативы Фредгольма (при 1 и V, обеспечивающих положительность потенциальной энергии деформации) см. В. Д. Купрадзе (1963, 1968), а также С. Г. Михлин (1962). [c.14] Существование и единственность решения задач и 1К ). Достаточно проверить, что Я, = 1 не является собственным числом однородноге уравнения П ) (значит, и союзного с ним уравнения 1 )), — доказывается, что предположение о существовании решения П( ), отличного от тривиального а М) Ф 0), несовместимо с требованием положительности удельной потенциальной энергии деформации. Согласно теореме Фредгольма отсюда следует существование и единственность решений неоднородных уравнений ТК ) и при произвольном задании Q в первом и V (( о) во втором. [c.15] В книгах В. Д. Купарадзе (1963, 1968) рассмотрены интегральные уравнения и вопросы суш,ествования их решений не только для задач статики, но и для установившихся колебаний упругой среды. Рассмотрен и ряд других краевых задач, анизотропные и неоднородные среды, уделено место задачам термоупругости, задачам для ограниченного объема и бесконечной среды, снабженных несколькими полостями. Преодолен ряд трудностей, связанных с сингулярностью изучаемых интегральных уравнений предложены простые по идее (но не по реализации) способы численного решения этих уравнений (В. Д, Купрадзе, 1964, 1967). [c.17] Вернуться к основной статье