ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод разделения переменных из "Курс теоретической механики для физиков Изд3 " Мильтона — Якоби (9.71), одинаковы. Однако преимуществом уравнения Гамильтона — Якоби является то, что основной метод решения этого уравнения — метод разделения переменных — включает в себя как частный случай метод циклических координат Лагранжа (см. 9.5). КрОхМ е того, при рассмотрении уравнения Гамильтона — Якоби наиболее естественно вскрывается глубокая аналогия между механикой точки и волновым процессом, которая играет важную роль при обсуждении волнового аспекта квантовомеханических явлений. [c.407] В ряде случаев гамильтониан системы обладает свойствами, которые приводят к разделению переменных в уравнении Гамильтона — Якоби. [c.407] Поскольку явно от времени не зависит, то поле импульсов (9.91, а) стационарно, 5—1 интегралов (9.91, б) определяют совокупность траекторий системы в пространстве конфигураций, а последний интеграл (9.91, в) определяет закон движения системы. [c.408] Зная полный интеграл этого уравнения и используя теорему Якоби, можно найти решение канонических уравнений. [c.408] таким образом, полный интеграл (9.97) совпадет с интегралом (9.93). [c.410] Заметим, что в методе разделения переменных, как и в методе циклических координат, очень большую роль играет выбор переменных. Например, в задаче двух тел полярные координаты допускают разделение, а декартовы не допускают. Может также случиться, что в одной и той же задаче несколько систем переменных допускают разделение, а может случиться, что разделение переменных вообще провести нельзя, как, например, в задаче трех тел. [c.410] Пример 9.4. Движение заряда в поле электрического диполя. [c.410] Найти общее решение уравнения движения заряда [14, гл. ПГ. [c.410] И учитывая, что а2=р(ро=Мго, получим формулу (4) примера 5.9. Следовательно, проекция точки на сферу постоянного радиуса (с центром в диполе) будет описывать траекторию, совпадаюидую с траекторией подобранного соответствующим образом сферического маятника. [c.411] Рассмотрим различные частные случаи. [c.412] Пусть Ео = 0 и ai = 0, тогда лз интеграла (7) вытекает, что = 0 следовательно, заряд движется по сфере конечного радиуса г —Го рг=тг=0). Если при этом Mzo = 0, то из неравенства (И) видно, что 0 изменяется от О до я/2, т. е. заряд описывает полукруг в некоторой меридиональной плоскости. Если же Aizo =,0, то движение заряда будет аналогично соответствуюихему движению сферического маятника. [c.413] Из этих результатов видно, что все круговые траектории лежат на одном и том же конусе, раствор которого не зависит ни от заряда и его массы, ни от момента диполя, а момент импульса заряда относительно оси диполя не зависит от расстояния заряда до диполя. [c.413] В случае о=0, а 1 0 движение инфинитно и будет происходить между конусами, растворы которых определяются соотношением (11), при этом г2 будет линейно зависеть от времени. [c.413] заряд не может упасть на диполь. [c.413] Пример 9.5. Обобщенно консервативная система с одной степенью свободы. [c.414] Рассмотрим задачу о точке, движущейся по гладкому вращающемуся стержню (см. пример 5.10), и ее решение методом Гамильтона — Якоби. [c.414] Вернуться к основной статье