ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА Основная задача динамики несвободной системы и понятие о связях из "Курс теоретической механики для физиков Изд3 " Система Зщ или поступательно движущаяся система центра масс характеризуется тем, что ее начало О находится в центре масс механической системы, а ее угловая скорость относительно инерциальной системы 8 равна нулю, т. е. [c.180] Пример 4.6. Система N точек в однородном поле тяжести. Найти закон движения системы N материальных точек, которые движутся в однородном постоянном поле тяжести напряженности g внутренними силами системы являются силы притяжения, прямо пропорциональные расстоянию между точками и произведению масс соответствующих точек (коэффициент пропорциональности х). [c.184] Из приведенных результатов следует, что центр масс механической системы движется по параболе относительно инерциальной системы отсчета относительно системы S , точки движутся по эллипсам с общим центром в центре масс и одинаковым периодом, равным 2я/(хт) 2 орбиты точек лежат в плоскостях, проходящих через центр масс ориентация этих плоскостей постоянна, но может быть различной для разных точек (только в случае А = 2 точки относительно Sm движутся в одной и той же плоскости, см. рис. 4.15). [c.185] Ввиду потенциальности суммы сил ре из уравнения (4.56) следует сохранение энергии центра масс , т. е. [c.186] Т + t/ = о (этот интеграл можно получить также из (4.57)). [c.186] Рассмотрим соотношения важнейших динамических величин, характеризующих механическую систему и отнесенных к произвольным системам отсчета S и S. Пусть движение системы S относительно 5 известно, т. е. — радиус-вектор начала системы S и ш — ее угловая скорость заданы как. функции времени будем также считать, что все векторы, характеризующие механическую систему относитёльно S, заданы з виде разложений по ортам S, а векторы, характеризующие систему относительно S, — в виде разложения по ортам S. [c.186] Как мы видим, вывод и содержание этого закона аналогичны выводу и содержанию закона изменения импульса относительна инерциальной системы отсчета (2.103). Однако в неинерциальной системе кроме сил, действующих на точки со стороны различных тел, имеются силы инерции, которые не подчинены закону действия и противодействия. Эти силы играют роль внешних сил и также изменяют импульс системы. [c.189] согласно закону (4.71) изменение кинетической энергии относительно 5 определяется работой внутренних и внешних сил, а также работой переноснцх сил инерции. Рассмотрим подробнее этот закон, предполагая, что внешние силы заданы как функции положений и скоростей точек относительно 8, а также предполагая, что среди этих сил есть потенциальные, диссипативные и гироскопические силы относительно внутренних сил взаимодействия предположим, что среди них могут быть потенциальные и диссийативные силы. [c.190] Наконец (см. (4.83)), если потенциальная энергия механической системы во внешних г олях стационарна, диссипативные силы (внутренние и внешние) отсутствуют, а неинерциальная систе ма отсчета движется относительно инерциальной с постоянной угловой скоростью и постоянным ускорением начала, то полная энергия механической системы относительно неинерциальной системы отснета будет сохраняться, т, е. [c.193] Сопоставляя (2) с (3.11), придем к выводу, что точка 2 движется относительно неинерциальной системы 8 так же, как воображаемая 11-точка движется относительно инерциальной системы центра масс. [c.194] Интересно рассмотреть законы сохранения относительно неинерциальной системы 5. [c.194] Пример 4.8. Возмущение эллиптической орбиты. [c.195] Как известно, под действием силы гравитационного притяжения (1.49) точка может двигаться по эллиптической орбите относительно инерциальной системы отсчета. Определить центральную силу, которую необходимо добавить к силе (1.49) с тем, чтобы орбита стала вращаться относительно инерциальной системы без изменения своего вида, т. е. чтобы точка в некоторой вращающейся системе отсчета двигалась по эллиптической орбите с фокусом в центре сил (центры добавочной и гравитационной сил совпадают). [c.195] Начало О инерциальной системы 5 поместим в центр сил, а плоскость Оху совместим с плоскостью орбиты (орбита будет плоской, так как и сила гравитационного притяжения Р, и возмущающая сила Ф центральны). Введем также неинерциальную систему 5 с началом О, совпадающим с О, а координатную плоскость О х у этой системы совместим с плоскостью Оху. [c.195] Если на точку действует только сила Р, то относительно 5 эта точка движется по эллипсу. Если же на точку действует сила Р + Ф, то по условию задачи точка также будет двигаться по эллипсу, но относительно 5 причем относительно 5 точка будет двигаться, вообще говоря, по незамкнутой орбите между двумя концентрическими окружностями (см. рис. 2.6). [c.195] Как видим, 1В рассматриваемой задаче положение точки и ее скорость удовлетворяют определенным условиям, не вытекающим из уравнений движения. В этом смысле говорят, что материальная точка несвободна, на нее наложена связь. [c.198] Однако характерным для голономиых связей является то, что ограничения на ускорения и скорости сводятся к ограничению только на положения точек иначе говоря, уравнения связей, заданные в виде (5.3) или (5.4), могут быть проинтегрированы. [c.199] В дальнейшем мы будем рассматривать главным образом голономные связи, поскольку задачи о движении систем с неголономными связями, как правило, очень сложны в математическом отношении и редко встречаются в современных физических приложениях механики . [c.200] Удерживающими связями называются связи, задаваемые равенствами. Соответственно неудерживающие связи задаются неравенствами например, неудерживающую связь можно реализовать с помощью гибкой нерастял имой нити, соединяющей две материальные точки. Однако в этом случае движение точек сводится либо к свободному движению (когда связь, как говорят, не напряжена), либо к движению несвободных точек (когда связь напряжена). Неудерживающие связи мы также рассматривать не будем. [c.200] Вернуться к основной статье