ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача Бобылева — Жуковского о качении шара с гироскопом внутри из "Динамика неголомных систем " Под круглым диском или просто диском ниже понимается твердое тело, динамически симметричное относительно некоторой оси и ограниченное острым краем, представляющим собой окружность. Плоскость, в которой лежит эта окружность, перпендикулярна к динамической оси симметрии, а центр окружности совпадает с центром масс, лежащим на динамической оси. Радиус диска, т. е. радиус ограничивающей его окружности, и его массу примем за единицу длины и соответственно массы. Главные центральные моменты инерции диска обозначим через Л и С, где Л — экваториальный момент, С — полярный момент инерции. [c.58] Наглядным примером движения, к теоретическому изучению которого мы приступаем, может служить монета, пущенная по столу, или круглый обруч, катящийся по горизонтальной площадке. Опыт говорит о том, что пока монета или обруч быстро катятся, они обнаруживают удивительную устойчивость, совсем не свойственную им в спокойном состоянии. Поэтому одной из задач теоретического исследования является изучение устойчивости качения диска и зависимости этой устойчивости от параметров. Таким образом, задача сводится к изучению динамики качения диска по плоскости. Для того чтобы при написании уравнений движения диска сразу же исключить из рассмотрения реакции связей опорной плоскости, воспользуемся законом изменения момента количеств движения диска относительно его точки опоры. Диск имеет три степени свободы, поэтому вышеупомянутый закон вместе с уравнениями кинематических связей даст полную систему динамических уравнений. Положение диска на плоскости можно определить, как и в 1 гл. I, пятью обобщенными координатами х, у, ф, ф, Э. [c.58] Поскольку оси координат А , Аг] и А являются главными осями эллипсоида инерции диска относительно точки А, моменты инерции относительно этих осей равны соответственно А I, А иС+1. [c.59] следовательно, в этом случае точка опоры диска описывает на горизонтальной плоскости окружность с постоянной угловой скоростью q/ os 00, что соответствует равномерному круговому качению диска. [c.61] Перейдем теперь к вопросу об устойчивости прямолинейного и кругового движений диска по горизонтальной плоскости. Путем простых рассуждений легко убедиться в том, что в смысле Ляпунова эти движения являются неустойчивыми. Действительно, прямолинейное движение диска можно сколь угодно малым возмущением превратить в круговое движение, хотя и с очень большим радиусом. При этом, конечно, спустя достаточно большой промежуток времени положения диска в возмущенном и невозмущенном движениях разойдутся на любое большое расстояние. Аналогично при сколь угодно малом возмущении кругового движения, в частности, при таком, когда движение остается круговым, но с другим значением угловой скорости ф, спустя значительное время положения диска в возмущенном и невозмущенном движениях могут разойтись на расстояние порядка радиуса описанной диском окружности. Наряду с этим движение диска оказывается устойчивым по отношению к изменению угла 0 его наклона к горизонтальной плоскости. Именно, этим свойством, устойчивостью по отношению к углу наклона, и объясняется удивительная способность диска катиться по плоскости, не падая. [c.61] Обычно устойчивость диска исследуется на основе линеаризованных уравнений малых колебаний вблизи невозмущенного движения, прямолинейного или в более общем случае кругового. Однако, поскольку диск представляет собою консервативную систему, корни характеристического уравнения при этом оказываются либо действительными (и тогда движение диска неустойчиво), либо чисто мнимыми сопряженными. В последнем случае обычно считают движение устойчивым. Однако такой вывод является незаконным. В самом деле, если мы изучаем движение диска как движение консервативной неголономной системы, последний случай является так называемым сомнительным случаем Ляпунова и поэтому требует дальнейшего исследования. [c.61] Исходя из полученных уравнений (2.10) и (2.11), можно выяснить общий характер движения диска и, в частности, дать точное решение вопроса об устойчивости по отношению к углу 0 прямолинейного и круговых качений диска по горизонтальной плоскости. [c.62] Решение уравнения (2.12) существует лишь в той области, где правая часть уравнения положительна. Характер этого решения существенно зависит от вида графика функции / (0 0о, о, Поскольку при заданных начальных условиях движение заведомо существует, при 0 = 00 функция / 0. [c.62] Пусть 01 и 02 — соседние нули функции /, между которыми заключено значение 0 = 0о. Если нули 0i и 02 конечные и простые, то решение 0 = 0 (/) уравнения (2.12) будет представлять периодическую функцию времени, изменяющуюся в пределах от 0i до 02-В частном случае 0i = 02 = 0о это периодическое решение переходит в решение 0 = 0о- При неограниченном интервале (0i, 02) функция 0 = 0 (О также изменяется, неограниченно возрастая или убывая. В случае кратности одного из корней, например 0i, функция 0 = 0 (/) при своем изменении асимптотически стремится к этому значению 0 = 0i. [c.62] Из сказанного следует, что для устойчивости циклического движения диска необходимо и достаточно, чтобы при 0 = 0о функция / имела строгий максимум. Действительно, только в этом случае при любых малых изменениях начальных условий 0о, о или, что то же, малых соответствующих им изменениях графика кривой / = / (0 00, 9о, 0, Щ возмущенное решение 0 = 0 (/) будет изменяться, оставаясь в сколь угодно малой окрестности невозмущенного решения 0 = 0о. [c.62] Из уравнений (2.18) следует, что при этом точка Р соприкосновения тора с плоскостью описывает окружность. В частном случае при 0 = 0 соотношение (2.19) удовлетворяется, когда = О или г = 0. Случай q — О соответствует прямолинейному и равномерному качению тора по плоскости, а случай г = О — равномерному верчению вокруг неподвижной прямой, проходящей через точку Р и центр тяжести тора. [c.66] В 1892 г. Д. К. Бобылев опубликовал детальное исследование интересной неголономной задачи о качении по горизонтальной плоскости полого шара с гироскопом внутри. При этом ему удалось выразить все параметры, определяющие положение шара с гироскопом, через эллиптические функции времени и исследовать вид кривых, которые описывает точка опоры шара на плоскости. Эти кривые Д. К. Бобылев воспроизводил на опыте, заставляя устроенный им гироскопический шар катиться на плоскости, посыпанной порошком ликоподия. [c.67] В приборе Д. К. Бобылева гироскоп занимает центральное положение внутри однородного сферического слоя, и на первый взгляд кажется, что такой вид оболочки должен соответствовать простейшему случаю движения прибора. Оказывается, что это не так. Как показал Н. Е. Жуковский, задача теоретического исследования движения гироскопического шара Бобылева значительно упрощается, если к сферической оболочке добавить кольцо, расположенное в экваториальной плоскости гироскопа и такое, что разность полярного и экваториального моментов инерции шара равна экваториальному моменту инерции гироскопа (см. рис. 2.6). В 1897 г. Н. Е. Жуковский в работе О гироскопическом шаре Д. К. Бобылева дал геометрически наглядное исследование движений такого шара с гироскопом. [c.67] Поместим описанный выше гироскопический шар Бобылева — Жуковского на горизонтальную плоскость, по которой он может кататься без проскальзывания, и свяжем с ним движущуюся поступательно ортогональную систему координат Ахуг с началом в точке опоры шара о плоскость и осью Л г, направленной вертикально вверх. Вектор угловой скорости шара й направим вдоль оси мгновенного вращения, которая проходит через точку Л, так как в силу отсутствия проскальзывания скорость этой точки шара равна нулю. Пусть и Оэ — проекции угловой скорости И на ось динамической симметрии шара и на его экваториальную плоскость (О — угловая скорость вращения гироскопа вокруг собственной оси, т. е. проекция угловой скорости гироскопа на его ось. Обозначим через Лш, Сш и Лг, Сг соответственно экваториальные и полярные моменты инерции шара и гироскопа относительно их общего центра. [c.68] Уравнение (3.6) показывает, что проекция кривой 5 па плоскость хАг лежит на параболе с вершиной в точке (а, —р) и осью, параллельной оси Ах. [c.71] В силу этого по крайней мере два из этих корней будут действительными. [c.71] Проведенное рассмотрение позволило определить характер кривой, описываемой в подвижной системе координат Ахуг концами векторов /Си/.. [c.71] Подставляя теперь г г t) ъ формулы (3.6) и (3.7), получаем функции X 1) н у (/). [c.72] Третий тип кривой получается, когда отрезок ТТ лежит одним своим концом Т в левой половине эллипса, а другим Т — в правой половине (этот случай показан на рис. 2.8). Идя по рассматриваемому отрезку параболы от Т к Т, мы будем иметь сначала отрицательные значения х, а потом положительные. Координата ц будет сначала возрастать, а потом убывать. Траектория точки А представит кривую с последовательными петлями (рис. 2.9, в). Следует отметить, что, перемещаясь по кривым рис. 2.9, б и рис. 2.9, в, точка А по истечении времени, соответствующего полному периоду, перемещается в положительном направлении оси Оц. Однако траектории этих типов могут быть и такими, что точка А через каждый период времени перемещается в отрицательном направлении оси Ог . В этом случае кривая, соответствующая рис. 2.9, б, приобретает вид, изображенный на рис. 2.9, г. В граничном случае между рис. 2.9, б и рис. 2.9, г кривая оказывается замкнутой, имея вид восьмерки (рис. 2.9, д). Аналогично для кривых рис. 2.9, в в граничном случае кривая принимает вид овала (рис. 2.9, ё). [c.74] Вернуться к основной статье