ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Дифференциальные уравнения равновесия нити из "Введение в механику гибкой нити " Если же концы нити закреплены, то эти равенства могут служить для определения реакций точек закрепления. Чаще всего встречаются нити с двумя закрепленными концами, реже — нити с одним закрепленным и одним свободным концами, причем задается или можно определить из дополнительной информации значение силы, приложенной к свободному концу (положение его, как правило, неизвестно). Встречаются и более сложные граничные условия. Многие из них будут рассмотрены при изучении конкретных задач. Кроме непосредственных условий на границах, должны быть заданы геометрические (один или несколько) параметры, например длина нити, стрела провисания и т. п. Эти элементы мы будем условно относить также к граничным условиям. [c.14] Теперь можно сформулировать основную задачу о равновесии идеальной нити даны действующие на нить силы распределенные и сосредоточенные) закон растяжения нити и найдены в необходимом числе граничные условия. Требуется определить форму равновесия нити, натяжение ее в любой точке и изменение длины [для растяжимых нитей). [c.14] В заключение отметим, что при решении конкретных задач основные трудности возникают, как правило, при интегрировании дифференциальных уравнений равновесия нити. Однако следует иметь в виду, что во многих случаях уравнения равновесия нити интегрируются сравнительно легко, а наибольшие затруднения появляются при построении решения, удовлетворяющего граничным условиям. [c.14] Здесь и в дальнейп1ем под Р понимается, конечно, равнодействующая всех распределенных сил, отнесенных к единице длины нити и приложенных к точке М. [c.15] Векторное дифференциальное уравнение (2.1) равновесия идеальной нити, справедливое как для нерастяжимой, так и для растяжимой нити, является основным, и из него могут быть получены дифференциальные уравнения равновесия нити в других формах. [c.15] Из этого равенства следует, что векторы т и Т параллельны, а так как они имеют общую точку М, то вектор натяжения нити Т направлен по касательной (в 1.1 это было принято а priori). [c.16] Если считать это обстоятельство известным, то дифференциальные уравнения (2.1) и (2.2) эквивалентны. Мы будем, как правйло, пользоваться уравнением (2.1), как более простым. [c.16] Здесь Рх, Ру, Рг — проекции силы Р на соответствующие координатные оси. [c.17] При решении конкретных задач используются чаще всего уравнения (2.5) или уравнения, получающиеся из них путем несложных преобразований. Поэтому остановимся на этих уравнениях несколько подробнее. [c.17] Это уравнение определяет неинтегрируемую неголо-номную) дифференциальную связь, которой должны удовлетворять координаты точки нити ). [c.17] Произвольные постоянные интегрирования , . .., Св определяются из граничных условий на концах нити. [c.18] Если кроме непрерывно распределенной нагрузки имеются сосредоточенные силы, приложенные к одной или нескольким внутренним точкам, то нить нужно разбить на части, на которые она делится этими точками. Пусть число сосредоточенных сил и, следовательно, число угловых точек равно /г. Тогда число участков будет /г+1, и для каждого из них имеется свое решение, содержащее в общем случае шесть произвольных постоянных. Все 6/г + 6 произвольных постоянных найдутся из граничных условий, из которых шесть, как и прежде, отвечают концам нити ж 6п — точкам приложения сосредоточенных сил (для каждой точки три условия определяют ее равновесие и три условия — общую точку двух участков нити). [c.18] Это решение полностью определяет кривую равновесия нити и ее натяжение Г, причем роль независимой переменной играет не вспомогательная величина 5, а координата X, Это решение имеет еще и то преимущество, что содержит не четыре, а три произвольных постоянных Си С2, Сз, которые определяются из граничных условий. [c.19] ЮТ различные направления и модули, но их составляющие по оси X равны между собой. [c.21] Наличие этого интеграла может существенно упростить решение задачи. [c.21] К формуле (1.1.8)). Поэтому можно считать, что поверхностные силы при растяжении нити остаются без изменения (в крайнем случае нужно учесть формулу (1.1.8)). [c.22] Это приводит к ошибочным результатам, когда в силу Р включают не только массовые, но и поверхностные силы (например, силы давления потока, силы сопротивления среды и т. п.). [c.22] Вернуться к основной статье