ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы О характере экстремума действия по Лагранжу из "Аналитическая механика " Геометрическое место кинетических фокусов, сопряженных началу рассматриваемого пучка траекторий, представляет сопряженную этому началу фокальную поверхность. Так, в примере движения материальной точки в поле силы тяжести этой поверхностью служила парабола безопасности (14.19), а в случае эллиптического кеплерова движения — эллипс (16.35). От расположения этой фокальной поверхности относительно начала пучка зависит протяженность примыкающей к нему достаточно малой области , о которой выше говорилось. Ее граница определяется той поверхностью семейства Л = onst, на которой расположен ближайший к началу кинетический фокус. Нет нужды доказывать, что действие по Лагранжу на траектории, соединяющей начальное положение с конечным, расположенным за кинетическим фокусом, не является минимумом, так как доказательство свелось бы к дословному повторению сказанного в п. 12.3 и иллюстрируемого рис. 89. [c.750] ТО на отрезке 03 траектории Со найдется сопряженный кинетический фокус. [c.751] Учитывая неравенство (10), легко заключить, что искомый минимум достигается при значении у = обращающем это неравенство в равенство из (14.19) следует теперь, что х — х . Итак, ближайшая к началу точка параболы безопасности лежит на пересечении ее с вертикалью, проведенной через начало. Это следует, конечно, и из того, что вертикаль, проходящая через начало пучка, является нормалью к параболе безопасности. [c.752] Верхнему знаку в этой формуле соответствует на рис. 97 ветвь а нижнему—ветвь А2. На том же рисунке отмечены две траектории С , касающиеся параболы безопасности в точках ( у ). [c.754] Будем говорить, что они разделяют траектории пучка на высокие и пологие . Любая точка области, ограниченной кривыми и А может быть соединена пологой траекторией с началом пучка — действие по Лагранжу по этим траекториям минимально. Вместе с тем, через каждую точку области, ограниченной параболой безопасности и кривой проходит высокая траектория пучка траекторий, ортогональная ветви 2 Действие по куску этой траектории, содержащему сопряженный началу кинетический фокус, не будет минимальным. [c.754] Вернуться к основной статье