ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема Якоби из "Аналитическая механика " В противном случае решение (2) не было бы обш.им, так как не все-постоянные были бы независимы между собой. [c.533] И выполнение этих равенств показывает, что соотношения (2), пред-ставляюш.ие интеграл Коши канонических уравнений, являются формулами канонического преобразования переменных в р . Обратное преобразование (4) также каноническое. [c.534] Движение голономной системы, на основании сказанного, является каноническим преобразованием значений обобш.енных координат и импульсов в некоторый момент времени t = t в их значения в те-куш,ий момент t. В этом смысле говорят, что движение есть постепенно разворачиваюи ееся каноническое преобразование. [c.534] Естественно, что большой интерес представляет вопрос, какой смысл можно приписать производяш.ей функции рассмотренного канонического преобразования. Мы вернемся к нему в п. 12.8. [c.534] В заключение приведем два иллюстративных примера. [c.534] В частности, если хотя бы одна из п постоянных входит в V аддитивно, т. е. если. [c.536] Это — общий интеграл канонической системы уравнений (4), так как он содержит 2п независимых постоянных. [c.537] Приходим к теореме Якоби задача разыскания общего интеграла канонической системы уравнений (4) эквивалентна задаче построения полного интеграла уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби (6), т. е, решения его, содержащего п произвольных постоянных и удовлетворяющего условию необращения в нуль якобиана (8). Зная этот полный интеграл, находим общий интеграл канонической системы, решив составляемую по нему систему конечных уравнений (9). [c.537] Задачи построения полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби и общего интеграла канонической системы, как доказывается в теории дифференциальных уравнений, математически эквивалентны. Степень трудности их, вообще говоря, одинакова. Однако может быть отмечен ряд частных случаев, когда уравнение Гамильтона — Якоби может оказаться более податливым, чем каноническая система. Об этом говорится в п. 10.14. Более важно то обстоятельство, что решение (10), получаемое с помощью теоремы Якоби, является каноническим преобразованием, а это, как мы увидим в главе 11, значительно упрощает форму уравнений возмущенного движения. [c.537] Оно составляется путем замены в записи интеграла энергии И = Н импульсов частными производными искомой функции по соответствующим координатам. [c.538] Здесь через частные производные искомой производящей функции по импульсам заменены входящие в функцию Гамильтона Н обобщенные координаты. Если речь идет о канонической системе, определяемой функцией И произвольного вида, то нет основания предпочесть уравнение (6) уравнению (31). Для канонической системы уравнений динамики дело обстоит иначе, так как импульсы р, в функцию Гамильтона И входят вполне определенным образом (квадратично), а координаты—как угодно. По этой причине производящая функция Уз (равно и У ) малопригодна для нашей цели, хотя могут быть и исключения. [c.540] Вернуться к основной статье