ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Применение теории функций комплексного переменного к исследованию. плоской задачи теории упругости из "Курс теории упругости Изд2 " Для общности решения сюда можно наложить добавочное решение в виде бигармонических полиномов. [c.219] Первое удачное приложение интеграла Фурье к задаче упругого полупространства принадлежит Веберу и дано в его издании Уравнений математической физики Римана. Дальнейшие приложения этого метода принадлежат Ламбу и Карману. Вышеприведённое изложение заимствовано нами из Курса теории упругости П. Ф. Папковича, глава X, 13. [c.222] Основой этого применения является возможность выразить интеграл бигармонического уравнения через функции комплексного аргумента, а также возможность комплексного представления граничных условий как при данных на границе напряжениях, так и при данных смещениях. Начнём с последнего вопроса. Для этого нужно выразить смещения через функцию напряжений. [c.223] Нам остаётся выразить через функции (г) и ф (г) компоненты напряжений Х , Ху, Уу. [c.225] Эти формулы дают представление напряжений через две функции (z) и ф (2) комплексного переменного. [c.226] Мы видим, таким образом, что решение плоской задачи теории упругости сводится к отысканию двух функций комплексного переменного, аналитических внутри области S, занятой упругим телом. Эти функции должны удовлетворять на контуре L области б определённым граничным условиям, которыми они и определяются. Эти условия будут различны, смотря по тому, заданы ли на границе смещения или напряжения. [c.226] Это граничное условие служит для определения функций tf (z) и ф (z) в том случае, когда заданы напряжения на границе. Выбор постоянной в первой части (8.188) не влияет на напряжённое состояние упругого тела и может быть сделан произвольно. Полученные здесь основные соотношения (8.187) и (8.188) позволяют легко получить решение плоской задачи для внутренности круга. Если же нам задана односвязная область S, отличная от круга, то для решения подобной задачи можно воспользоваться конформным отображением области S на круг. [c.227] Если отображение взаимно однозначно, то ю (С) не может обращаться в нуль в области круга у- Во всём дальнейшем мы будем рассматривать такие области S, координаты точек контура которых имеют непрерывные производные по дуге вплоть до третьего порядка. [c.227] Здесь /, и Л также можно рассматривать как известные функции . Заметим, что в краевой задаче, определяемой условиями (8.188) и (8.190), мы имеем ещё некоторый произвол, несущественный для искомого решения. [c.228] Именно, не изменяя решения задачи, мы можем произвольно зафиксировать аддитивную постоянную в правой части (8.188) и (8.190) и, кроме того, задать произвольные значения (0) и ср (0). [c.228] В задаче, характеризуемой условиями (8.187) и (8.189), мы, не изменяя решения, вправе произвольно выбрать значение р(0). [c.228] Подстановка этих рядов в граничные условия даёт последовательность рекуррентных соотношений, из которых определяются коэффициенты и а . Особенно просто решается задача в тех случаях, когда отображающая функция ш(С) есть полином. В этом случае система совместных уравнений, которую приходится решать, оказывается конечной. Важность этого случая для практических приложений заключается в том, что заданную область 6 можно апроксимировать с произвольной точностью областью S , отображаемой на круг при помощи полинома достаточно высокой степени п. На этом может быть построен метод приближённого решения задачи. Ограничившись здесь только этими общими замечаниями, мы займёмся изложением другого метода решения поставленных краевых задач, именно сведением их к некоторым функциональным уравнениям. Этот приём основан на приложении интегралов типа Коши. [c.229] Мы ограничились здесь изложением решения только для задачи с данными на границе напряжениями. Точно таким же путём приводится к интегральному уравнению и задача с заданными смещениями. [c.232] Описанный метод функциональных уравнений даёт возможность получать и решение конкретных задач. Интегральное уравнение может всегда быть решено численным путём. Кроме того, для широкого класса областей, конформно отображающихся на круг при помощи рациональной функции, этот метод даёт возможность элементарным путём получать точное решение. [c.232] Мы ограничиваемся здесь только этими общими и крайне неполными сведениями из области приложения теории функций комплексного переменного к плоской задаче теории упругости. Для более полного ознакомления с предметом мы отсылаем читателя прежде всего к цитированной выше книге Н. И. Мусхелишвили, а также к позднейшим работам, многие из которых в последнем издании (1935 г.) этой книги помещены в списке литературы. [c.232] Вернуться к основной статье