ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы О некоторых пространствах функций и поверхностях класса Л (а) из "Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости Изд2 " Естественно выяснить место, занимаемое этими задачами в общей теории дифференциальных уравнений. [c.59] Выясним, какому типу уравнений, например, по классификации Петровского (см. 15.17), относятся основные уравнения, точнее,, системы уравнений теории упругости. [c.59] Уравнения статики и колебания классической теории (системы (12.4) и (12.5)), моментной теории (системы (12.10) и (12.11)) и теории термоупругости (система (12.13)) суть уравнения эллиптического типа. [c.59] следовательно, (1е1 х (I) Ч= О, если ф О (см. (7.20)). [c.59] Следовательно, два овала (см. Петровский [11) из этой поверхности совпадают, и поэтому уравнение динамики классической теории можно рассматривать лишь как предельный случай гиперболических систем. [c.60] Для уравнений динамики моментной теории появляются две пары совпадающих овалов, а уравнения динамики термоупругости не принадлежат ни к одному из классических типов. [c.60] Операторы А (5j ), А [д , со), М (oj и М [д , со) самосопряженные, а В (дху 6)) не является самосопряженным. Построим оператор В дх, сопряженный с В дх, со). [c.60] Для того чтобы поставленные выше задачи теории упругости имели регулярные решения, необходимо подчинить краевые условия (граничные данные в задачах статики и колебания и граничные и начальные условия в задачах динамики) некоторым ограничениям, иными словами, выбирать их из определенных классов функций. Иногда требуется иметь решение с гладкостью более высокого порядка, чем регулярность. В этих случаях следует выбирать данные из классов достаточно гладких функций. [c.61] Для выяснения некоторых вопросов, например, о корректности задач, удобно в рассматриваемых классах функций вводить метрику — расстояние между элементами (функциями) или норму элемента. Таким образом, вводятся в рассмотрение различные нормированные пространства функций. [c.61] При исследовании задач, поставленных в предыдущем параграфе, в этой книге применяется в основном метод сингулярных интегральных уравнений. Вопросы существования решения задач и установления свойств гладкости решений приводятся к соответствующим вопросам для сингулярных интегральных уравнений, распространенных по поверхностям, являющимся границами рассматриваемых упругих сред. Кроме того, решения задач будут выражаться интегралами типа потенциала, распространенными в основном по этим поверхностям. [c.61] Свойства решений сингулярных интегральных уравнений, а также интегралов типа потенциала, существенно зависят от свойств поверхностей. [c.61] Приведем в этом пункте определения основных пространств функций и классов поверхностей, с которыми будем иметь дело в дальнейшем. [c.61] Очевидно, если ф С° (D), а О, то ф равномерно непрерывна в области D. [c.61] Таким образом. С ° (D) = С (D), где С (D) — класс функций, определенный в предыдущем параграфе. [c.61] Приведем следующее простое предложение. [c.61] Совершенно аналогично определяются классы (В) и (В) и в том случае, когда ВаЕт, где т — произвольное нату льное число. [c.62] Пусть п = ( 1, /12, — произвольный ненулевой вектор, б — произвольное положительное число, а л (Е Е . Обозначим через Ц (х, п, 6) круглый цилиндр в 3, имеющий высоту 26, осью которого служит я, центром симметрии — точка X и радиус основания равен б. [c.62] Поверхность класса Л1 (0) называют гладкой поверхностью, поверхность класса JIi (а), а О —поверхностью Ляпунова и поверхность Л2 (0) — поверхностью с непрерывной кривизной. [c.63] Вернуться к основной статье