ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Сохраняемость векторных линий из "Теоретическая гидромеханика Часть1 Изд6 " Совершенно ясно, что для двух разных моментов времени I к 1 мы получим, вообще говоря, разные совокупности векторных линий. [c.154] Рассматривая какую-нибудь векторную линию, соответствующую моменту мы обнаружим, вообще говоря, что она состоит из частиц среды, которые в момент I принадлежали различным векторным линиям. Но, в частном случае, может оказаться, что частицы среды, составляющие к моменту 1 векторную линию, в момент t тоже образовывали векторную линию. Если это последнее обстоятельство имеет место для любых моментов времени 1 Ь к для любых векторных линий данного вектора а, то мы будем говорить, что векторные линии вектора а обладают свойством сохраняемости. [c.154] Мы уже имели выше пример вектора, для которого векторные линии и интенсивности векторных трубок обладают свойством сохраняемости а именно, по доказанным выше теоремам Гельмгольца, таким вектором является вихрь скорости в любом движении идеальной баротропной жидкости, которая находится под действием сил, имеющих потенциал. [c.155] Мы будем в дальнейшем предполагать, что в рассматриваемой области векторы и а непрерывны вместе с их первыми частными производными и что величина вектора а отлична от нуля. Тогда через каждую точку рассматриваемой области будет проходить одна и только одна векторная линия. [c.155] Докажем теперь следующую основную теорему, принадлежащую А. А. Фридману ). [c.155] Доказательство этой теоремы мы разобьем на три части. [c.155] Подставляя эти значения в (5.5) и производя сокращение на в, мы придем к равенству (5.2), что и требовалось доказать. [c.156] Используем теперь условие, что в новом положении векторная трубка заполнена теми же самыми частицами, что и в первоначальном положении. [c.157] Построим векторные линии вектора а в начальный момент времени ip. Построим теперь для любого момента времени t поле вектора а следующим образом. Берем произвольную точку Л1ц и проводим через нее векторную линию q для момента ig. Пусть жидкие частицы, составляющие эту векторную линию, образуют к моменту времени t жидкую линию L и пусть точка Л1д перейдет в точку М тогда мы направляем вектор а в точке М в момент времени t по касательной к линии L, причем приписываем вектору а такую величину, чтобы интенсивность бесконечно малой векторной трубки, охватывающей линию q, тоже сохранялась. [c.159] При t = t вектор а приводится к а. При этом вектор а, по условию, тоже удовлетворяет уравнению (5.1). Но дифференциальное уравнение (5.1), будучи линейным относительно а, имеет единственное решение, принимающее в начальный момент времени определенные начальные значения. Поэтому вектор а должен совпасть с вектором а и, следовательно, векторные линии и интенсивности векторных трубок вектора а должны обладать свойством сохраняемости. [c.159] высказанная нами теорема доказана теперь полностью. [c.159] необходимое и достаточное условие сохранения векторных линий и интенсивностей векторных трубок вектора а состоит в равенстве нулю гельма этого вектора. [c.159] Вернуться к основной статье