ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Числа Ковалевской обобщенных цепочек Тоды из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Здесь VI е к, а . адг — векторы из К , х = х1,. .., х ) — канонические координаты, сопряженные с у — (у,,, у ) (, ) — стандартное скалярное произведение в К . Системы такого вида часто встречаются в приложениях (см. [20, 159]). [c.346] Сюда относятся обычные замкнутые цепочки Тоды и их интегрируемые обобщения, найденные в работах [176, 180]. [c.346] Эти два свойства позволяют классифицировать обобщенные цепочки Тоды с к = 71+1. Цепочку назовем полной, если к гамильтониану (4.1) нельзя добавить экспоненциальное слагаемое мехр(Ь,а ), и О, 6 а (1 У М), не нарушая условий ( )-(Ш) из п. 1, а также условий 1), 2) теоремы 1. Ясно, что любая обобщенная цепочка, для которой к = 7г + 1, получается из некоторой полной цепочки, если отбросить часть векторов вида а.,/2, 1 . 5 г + 1. [c.347] В свою очередь, эта задача тесно связана с теорией корневых систем, играющих важную роль в современной математике (конечные группы отражений евклидовых пространств, полупростые алгебры Ли и т. д. см., например, [35]). Неожиданная связь между вполне интегрируемыми обобщенными цепочками Тоды и корневыми системами, подмеченная впервые О. И. Еюгоявленским [180], выглядит весьма таинственной. [c.348] Граф Кокстера не дает информации о соотношениях длин векторов. Поэтому обычно рассматривают оснащенный граф Кокстера (называемый схемой Дынкина) каждой вершине приписывается коэффициент, пропорциональный квадрату длины соответствующего вектора из В. Оказывается, оснащение указанных выше графов Кокстера восстанавливается однозначно. [c.350] Теорема 2 [104]. Рассмотрим полную цепочку Тоды с числом Ковалевской к = г + 1. При г 2 схема Дынкина системы векторов аь. .., адг К изоморфна одной из схем, изображенных на рис. 37. [c.350] Доказательство, 1. Екли (aj,b ) = т при j п+1, то в силу условия (ii) существует такой вектор as (s п + 1), что а, = MOj-, и 1 следовательно, (а.,, 6 i) т. [c.352] В силу свойства (i) это равенство может выполняться лишь в случае /i = п+ 1 следовательно, m —2. Итак, т = -2, и лемма 1 полностью доказана. [c.352] Пусть ai.a (/х г + 1) — такие векторы, что (ai,6 i) = =. .. = (a ,6 i) = —2, (ai,6 i) —2 (/ /х). Пусть множество W = = 1. (, с а1.алг таково, что (сь 6 ) =. .. = ( (,,6 i) = = —1, и для всех aj ф. W имеем (ay,6 j) ф —1. [c.352] Лемма 3. Имеет место соотношение /х = 1. [c.353] Оператор О переводит пространство, ортогональное линейной оболочке векторов а1.а , в нуль. Следовательно, уравнение ёе ( — ХО) = О имеет не более /х действительных корней. Таким образом, из уравнений (4.10) можно извлечь не более /х свободных параметров. Подчеркнем, что мы пока не интересуемся разрешимостью этих уравнений. [c.353] каждому (2п — 1)-параметрическому формально меро-морфному решению уравнений (4.6) отвечает индекс s, удовлетворяющий условиям 1) и 2) теоремы 1. Тем самым доказана необходимость этих условий. [c.354] Теперь проверим достаточность этих условий. Для этого каждому индексу S G I сопоставим (2п— 1)-параметрическое формально мероморфное решение. Пусть 6 i удовлетворяет равенству (4.13), и пусть величины 6, Ьо стеснены соотношениями (4.8), (4,9), в которых У = l j) = ц = 1. Необходимо доказать, что уравнения (4.10) разрешимы, причем имеется однопараметрическое семейство решений. [c.354] Будем считать, что aj/2 G ai.a v (в противном случае коэффициент v[ при exp(aj/2, ) в (4.1) положим равным нулю). Из соотношений (4.11), (4.12) получаем Gb = = -2ai(ai,6)/(ai,ai). [c.354] Ранг оператора G равен единице, причем его ненулевое собственное значение равно —2 Gai = —2aj. Таким образом, операторы Е -f G/ j j -f 1)] невырождены при у = 2,3. и уравнения (4,10) имеют единственное решение при У 1. [c.354] Если векторы а1. адг составляют корневую систему, то условие (4.18) заведомо выполнено. Не исключено, что в этом случае общее решение (4.15), действительно, представляется однозначными (но не обязательно мероморфными) функциями I (ср. с теоремой 1 п. 1). [c.356] Обсудим теперь задачу о наличии у системы (4.17) дополнительных первых интегралов, полиномиальных по и и г . Легко видеть, что каждый такой интеграл является конечной суммой квазиоднородных полиномиальных интегралов, степени квазиоднородности которых по переменным ик. V равны соответственно 1 и 2. Итак, пусть Г и,ь) — квазиоднородный интеграл системы (4.15) степени т. Согласно теореме 1 3, если точка щ = [/ , Vi = Vi, где /7 , Vi определяются из (4,17), не является критической точкой функции Г, то число т совпадает с одним из указанных выше характеристических корней р. Следует отметить, что не все интегралы удовлетворяют этому условию исключение составляют тривиальные интегралы Ф из серии (4.16). Екли имеются к квазиоднородных интегралов одной и той же степени т, независимых в точке и, ь) = и, V), то корень р = т имеет кратность не менее к. [c.356] Предположим, что имеется хороший квазиоднородный интеграл степени т 2, независимый от интеграла энергии в точках вида % = -2М к/Мкк, Ь = О (г к), Ьк = 2/Мки- Тогда для каждого г= 1. М найдется такое / ф г, что 2 ai, aj)/(aj,aj) е причем все эти величины равны. Неясно, является ли это условие достаточным для существования хорошего квазиоднородного интеграла. Все интегралы степени т = 1 имеют вид (4,16). [c.356] Условия существования к дополнительных хороших полиномиальных интегралов степени т 2 интересно сравнить с условиями существования к полных семейств мероморфных решений. Такое сравнение проще всего осуществить для обобщенных цепочек Тоды, у которых N= п + 1. С этой целью рассмотрим (п+ 1) X (п+ 1)-матрицу L с элементами L j = 2(oj-, ау)/(а , а ) (г ф j), Ьц = 0. Если имеется к дополнительных к интегралу энергии независимых квазиоднородных интегралов степени m 2, то, согласно результатам 9 гл. II, в каждой строке матрицы L найдется по меньшей мере к целых неположительных чисел. Если же число Ковалевской такой системы не меньше f , то по теореме 1 в матрице L имеется по крайней мере к строк, все элементы которых являются целыми положительными числами. Эти условия совпадают лишь при f = п + 1. [c.357] Вернуться к основной статье