ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод Зигеля из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Пусть А1.Л2п — собственные значения линеаризованной канонической системы с гамильтонианом Яг. Можно считать, что Хп+к = —Хк (1 /г п). Рассмотрим случай, когда числа Ах. Л чисто мнимы и независимы над полем рациональных чисел, т. е. сумма тхАх -Ь. .. -Ь гтг А с целыми тп равна нулю только если все т,- — нули. При этом предположении Биркгоф нашел формальное каноническое преобразование, приводящее систему (1.1) к нормальной форме. В частности, уравнения Гамильтона (1.1) имеют п интегралов в виде формальных степенных рядов по х,у, попарно находящихся в инволюции (см. 11 гл. II). [c.309] Теорема 1 (К. Зигель [59]). В любой окрестности любой точки Н е Л найдется такой гамильтониан Н, что соответствующая каноническая система (1.1) не имеет независимого от Н интеграла, аналитического в окрестности равновесия х = у = 0. [c.310] Теорема 2 (К. Зигель [60]). Функции Гамильтона Н со сходящимся преобразованием Биркгофа образуют в Н подмножество первой категории Бэра ) в топологии Т. [c.310] Более точно, Зигель доказал существование бесконечного счетного множества аналитически независимых степенных рядов Ф Фг. от бесконечного числа переменных /ц,, абсолютно сходящихся при /ц, (для всех к, з) и таких, что если точка Н Е Н сходящимся преобразованием Биркгофа приводится к нормальной форме, то в этой точке почти все Фг (кроме, может быть, конечного числа) обращаются в нуль. Функции Фг аналитичны, поэтому решения нигде не плотны в Н. Следовательно, множество точек из Н, удовлетворяющих хотя бы одному уравнению Фг = О, имеет первую категорию в смысле Бэра. Если пытаться исследовать сходимость преобразования Биркгофа в какой-либо конкретной гамильтоновой системе, придется проверить выполнение бесконечного числа условий. Для этого не известно никакого конечного метода, хотя все коэффициенты рядов Фг можно явно вычислить. [c.310] В частности, все еще неизвестно, сходятся ли преобразования Биркгофа в ограниченной задаче трех тел при фиксированном отношении масс в окрестности лагранжевых равновесных решений. По поводу этой задачи К. Зигель заметил, что она, по-видимому, лежит вне возможностей известных методов анализа [60]. [c.311] Собственными числами являются го 1. го . Выполним линейное каноническое преобразование х,у —у и,и с комплексными коэффициентами у = т + и)/ /2, х = и + ги)/ /2. В новых координатах Я = г u jUjVj +. .. Мы докажем теорему 1 в наиболее простом случае двух степеней свободы. Кроме того, пусть о = 1, а х 2 = и) — иррациональное число. [c.311] Коэффициенты крд могут быть комплексными числами. [c.311] Число д будем называть степенью одночлена (1.3). [c.311] Лемма 1. Для гамильтоновых систем с гамильтонианом вида (1.2) существует интеграл з = щух +. .. без членов вида (1.3), причем каждый интеграл такой системы есть ряд по Н и з. [c.311] Пусть Г— ряд по степеням и, V, и пусть (/ = 0,1.) — сумма его членов порядка I. Через ( обозначим максимум абсолютных значений коэффициентов однородного многочлена р. Следующее утверждение носит технический характер. [c.312] Теперь С есть максимум чисел к [ (О /г I), и ( и1г)1 + + игг)г)С — максимум чисел ЦФ (О А / + 1), поэтому имеет место неравенство 7 С (/ + 1) ( и1г)1 + г]и2У2)С . Учитывая дополнительно + 7 2 7 и / + 1 г+1, получаем оценку (1.4). Лемма 2 доказана. [c.312] Таким образом, (1.12) выполняется и при I = к. [c.315] Лемма 3 доказана полностью. [c.315] Следствие. Множество точек Н е Л, для которых преобразование Биркгофа расходится, всюду плотно. [c.316] Важно подчеркнуть, что при построении возмущенной функции Гамильтона мы варьировали только коэффициенты вида ксш,. [c.316] До сих пор неизвестно, имеются ли в топологическом пространстве (Н, Т) такие точки, что некоторые их окрестности состоят только из гамильтонианов с расходящимися преобразованиями Биркгофа. Отметим еще одну нерешенную задачу верно ли, что гамильтоновы системы, допускающие дополнительный аналитический интеграл, образуют в Н подмножество первой категории Бэра в топологии Т По-видимому, это утверждение истинно. [c.317] что для аналитической в окрестности нуля функции F свойства 2) и 3) заведомо выполнены. [c.317] Ряд Маклорена интеграла (1.17) начинается с невырожденной квадратичной формы. Конечно, уравнения Гамильтона могут допускать вырожденный интеграл. По-видимому, теорема 3 справедлива и в том случае, когда вместо непрерывно дифференцируемых интегралов вида (1.17) рассматриваются 2тг-периодические по t интегргшы, представимые в окрестности точки х = у = О сходящимися степенными рядами. Этот результат, вероятно, можно доказать методом работы [59]. Необходимо проверить, что изолированные периодические точки отображения за период возмущенной системы (1.18) составляют ключевое множество для класса функций, аналитических в окрестности начала координат. [c.318] Вернуться к основной статье