ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Системы с гироскопическими силами из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Следуя Биркгофу, рассмотрим задачу о существовании условных полиномиальных интегралов. Напомним (см. 1 гл. И), что интеграл, определенный на фиксированной поверхности уровня интеграла энергии, называется условным полиномиальным интегралом, если он продолжается до функции на Т М, полиномиальной по импульсам с однозначными на М коэффициентами. [c.146] Предположим снова, что потенциал V ньютоновского типа имеет п особых точек на М. Все объекты считаем аналитическими. [c.146] Теорема 1 [27]. Пусть М компактно и п 2х М). Тогда нри h supjv V не существует непостоянных полиномиальных по импульсам первых интегралов на уровне энергии И = h. [c.146] Теорема 2 [27]. Пусть М некомпактно, кинетическая энергия евклидова на бесконечности, потенциал V имеет п 2х М) особых точек zi. z . Тогда не существует полиномиальных по импульсам первых интегралов на T [M zi. z ), независимых от функции Н. [c.146] Если форма / точна и выполнено условие h sup Hq, то при п 2х М) не существует даже аналитических непостоянных интегралов на поверхности Н = h [26]. При / = О снова получаем теорему 3 из 3. [c.146] При 71 = 2 и о О (ограниченная задача трех тел) подобное утверждение не доказано. Более того, известна гипотеза Шази об интегрируемости задачи трех тел при положительных значениях полной энергии [5]. Эта гипотеза связана с более общей концепцией в задаче рассеяния частиц с некомпактным пространством положений данные на бесконечности (скажем, импульсы частиц) являются кандидатами на роль первых интегралов. Однако реализация этой идеи сталкивается с рядом затруднений принципиального характера, связанных с областью определения и гладкостью интегралов рассеяния . Одна из таких трудностей — возможность захвата в задаче многих взаимодействующих частиц. [c.147] В ограниченной задаче трех тел известны более слабые результаты о неинтегрируемости. Пуанкаре доказал отсутствие дополнительных интегралов, аналитических по массам / 1 и / г тяжелых точек [225]. Либре и Симо [216], используя метод квазислучайных движений по В. М. Алексееву, доказали несуществование нового аналитического интеграла при условии, что масса одного из тел мала. Кроме этого, известен результат К. Зигеля [229] об отсутствии новых алгебраических первых интегралов это утверждение доказывается методом Брунса. По-видимому, ограниченная задача трех тел не допускает полиномиальных по импульсам первых интегралов, независимых от интеграла энергии. [c.147] В этом случае х(Л/) = О, особых точек нет. Форма гироскопических сил / равна —adx Л dy. Следовательно, при а О выполнено условие (4.2). Поэтому уравнения (4.3) не допускают полиномиальных интегралов с однозначными коэффициентами, незгшиси-мых от интеграла энергии. Очевидные линейные интегралы х- -+ ау, у— ах многозначны в фазовом пространстве ТМ = х Т . Функция sin(y-Ь /а)—однозначный аналитический интеграл, не являющийся полиномом по X. [c.148] В некомпактном случае условия существования дополнительного полиномиального интеграла не удается представить в виде топологических ограничений. [c.148] Доказательство теоремы 3 проведено в 2 гл. УП1 в предположении, что поверхность М гомеоморфна двумерному тору с плоской метрикой. [c.148] Вернуться к основной статье