ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Геометрические препятствия к интегрируемости из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Заметим, что в доказательстве несуществования полиномиального интеграла нигде не использовалась аналитичность его коэффициентов достаточно предположить, что они из класса С (М). Поэтому можно подумать, что тем самым доказан более сильный результат по сравнению с теоремой 1. Однако, как показал С. В. Болотин 27], если М, Т, V аналитичны, то любой полиномиальный интеграл является аналитической функцией на Т М. [c.141] Теорема 1. Пусть М —геодезически выпуклое подмногообразие с отрицательной эйлеровой характеристикой. Тогда геодезический поток на Е не имеет непостоянного аналитического интеграла. Более того, аналитический интеграл заведомо отсутствует в каждой окрестности множества Е в Е. [c.142] Если дМ = 0, то мы снова получим теорему 1 1. Теорема 1 настоящего параграфа сначала была установлена автором в предположении, что первое число Бетти поверхности М больше двух. Затем С. В. Болотин заменил это условие более слабым х(М ) О, где X — эйлерова характеристика [25]. [c.142] Следствие 1. Предположим, что на двумерном аналитическом торе имеется замкнутая геодезическая, гомотопная нулю. Тогда геодезический поток, порожденный метрикой на Т , не имеет непостоянного аналитического интеграла. [c.142] Конечно, далеко не каждая метрика на двумерном торе имеет гомотопные нулю замкнутые геодезические. Однако в ряде случаев существование таких геодезических можно установить из простых соображений вариационного характера (рис. 11). [c.143] Обратимся к случаю, когда М гомеоморфна сфере 8 . Согласно знаменитой теореме Пуанкаре, на 8 всегда имеются три замкнутые песамопересекающиеся геодезические 7, (см., например, [72а]). Оказывается, интегрируемость соответствующего геодезического потока зависит от их взаимного расположения. [c.143] Следствие 2. Предположим, что геолезические 71,72,73 не пересекаются и каждую из них можно продеформировать в точку, не пересекая при этом двух других геодезических. Тогда уравнения геодезических на 8 не имеют дополнительного аналитического интеграла. [c.143] Действительно, в этом случае 7, делят 8 на несколько геодезически выпуклых областей, одна из которых имеет отрицательную эйлерову характеристику (рис. 12). [c.143] Теорема 2 [26]. Пусть М компактно, а потенциал V имеет п 2х М) особых точек. Тогда нри Н зирд V не существует непостоянных аналитических интегралов на энергетической поверхности Еь — Н — к). [c.144] В некомпактном случае нужны дополнительные условия на поведение кинетической энергии на бесконечности. Предположим, что х(М) ф —оо тогда, как известно из топологии, М можно превратить в компактную поверхность М, добавляя конечное число бесконечно удаленных точек Пусть Д С М —диффеоморфные дискам окрестности точек Дополнительное предположение заключается в том, что каждая замкнутая кривая в Ок, охватывающая точку не может быть стянута к точке в классе кривых ограниченной длины (в метрике, определяемой кинетической энергией). Предположим еще, что зирд оо. [c.144] Поэтому при малых I траектория г 1) лежит вне О, и Л геодезически выпукло. Остается воспользоваться заключением теоремы 1. [c.145] Условие евклидовости римановой метрики Т на бесконечности означает следующее. Пусть М получается из компактной римановой поверхности М выбрасыванием конечного числа бесконечно удаленных точек 4.. Тогда в окрестности каждой точки в конформных координатах на М метрика Т является евклидовой. [c.145] Вернуться к основной статье