ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Представление Гейзенберга из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " С помощью конических координат К. Нейманом решена задача о движении точки по сфере в в силовом поле, потенциальная энергия которого — квадратичная функция от координат х,г/,, 2 (1859 г.). Эта задача вполне интегрируема и в многомерном случае (см. [131]). [c.105] В этом параграфе речь пойдет об эффективном методе интегрирования гамильтоновых систем, основанном на представлении Гейзенберга (эквивалентные термины представление Лакса, метод изоспектральной деформации, метод Ь — Л-пары). [c.105] Дифференциальные уравнения вида (8.2) встретились во всей общности впервые, по-видимому, в квантовой механике в связи с анализом гейзенберговой картины движения, когда наблюдаемые зависят от времени, а состояния—не зависят. [c.105] Теорема 1 [216]. Собственные числа матрицы Ь являются интегралами системы (8.1). [c.105] Теорема 1 хорошо известна в квантовой механике в связи с переходом от картины движения Гейзенберга картине Шрединге-ра. Следует подчеркнуть, что вопрос о независимости интегралов, получаемых по теореме 1, каждый раз должен решаться отдельно. [c.106] При таком соответствии векторное умножение переходит в коммутатор матриц. Следовательно, уравнение (8.3) можно записать в виде матричного коммутационного уравнения М = [Г2, М]. В этом случае представление Гейзенберга точное. Следы матриц М, М , равны О, —2(т, т), О соответственно. [c.106] Здесь (со, х) —функция Лагранжа с - —структурные постоянные алгебры Ли 5 г 1. — базис левоинвариантных полей на соответствующей группе G. Полагая т, = d fdu),, введем две матрицы, L и А, с элементами Ьк, = А1 = J2 ka a. [c.106] Для того чтобы получить уравнение (8.5), надо умножить первые уравнения (8.4) на с ., просуммировать по и воспользоваться тождеством Якоби для структурных постоянных алгебры д. [c.107] Если лагранжиан С левоинвариантен (т. е. г ( ) = 0), то С зависит лишь от переменных и матрица В обращается в нуль. В этом случае уравнения Пуанкаре являются замкнутой системой уравнений на алгебре д матрицы А и. Ь дают их представление Гейзенберга. Такое представление не всегда точное если группа С абелева, то с,у = О и уравнение (8.5) вырождается в тривиальное тождество. Однако представление Гейзенберга является точным для случая, когда д — простая алгебра (как в задаче Эйлера). [c.107] Следствие. Каждая вполне интегрируемая гамильтонова система в окрестности инвариантных торов допускает точное представление Гейзенберга. [c.107] В подавляющем большинстве проинтегрированных гамильтоновых систем точное представление Гейзенберга имеется во всем фазовом пространстве (см. обзоры [55, 68]). [c.107] Здесь sn, n и dn — эллиптические функции Якоби. Замена параметра а на га переводит функции типа II в функции типа III, а предельный переход а — О переводит функции типа II и III в функцию типа I. [c.109] Вернуться к основной статье