ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Разделение переменных из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Но этот же вид имеют уравнения Эйлера в проективных координатах (6.7). Роль моментов инерции играют числа мь Мг и мз они. зависят не только от / и Л, но и от постоянных интегрирования hi и /i2. Искомый изоморфизм задач Эйлера и Жуковского является композицией двух проективных преобразований и одного линейного. В вещественной области этот изоморфизм имеет особенности, что отвечает разной топологии фазовых кривых двух задач. [c.97] Так как det d W/dqdx = det d V/dqdx ф О, то W[q,x) — полный интеграл уравнения (7.3) — можно принять в качестве производящей функции канонического преобразования p,q — у,х у = = dW/dx, р = dW/dq. В новых канонических переменных х,у функция я становится равной К х), поэтому уравнения Гамильтона сразу интегрируются х = xq, у = уо + w xo)t, ш х) = дК/дх. [c.98] Подчеркнем, что функция К в уравнении (7.3) считается неопределенной, и для ее однозначного задания следует привлекать дополнительные условия. Обычно полагают K xi. х ) = = Хп- тогда в фазовом пространстве переменньгх х, у траектории гамильтоновой системы (7.1) являются прямыми. [c.98] В качестве п независимых параметров можно взять xq и любые п — 1 из п параметров Xj. х . [c.98] Подчеркнем, что мы не ставим целью найти все решения уравнения (7.3) нам достаточно знать хотя бы одно п-параметрическое семейство его решений. [c.98] Функции А , Вг, Сг зависят лишь от координаты qi, причем 2 А и Ву не обращаются в нуль. Лиувиллевы системы часто встречаются в приложениях. [c.99] Решения системы (7.6) при п = 2 и п = 3 изучены в работах Мореры и Дель-Аквы (обзор результатов см. в [144]). [c.100] Если в гамильтоновой системе с гамильтонианом H p,q) переменные р, q не разделяются, то это еще не означает, что-ее нельзя решить методом разделения переменных. Возможно, что после надлежащей канонической подстановки p,q—f у, х мы получим разделенные канонические переменные х, у. Вопрос о существовании скрытых разделенных переменных в гамильтоновой системе является существенно более трудной задачей. [c.100] Пусть Н имеет натуральный вид Г + V и каноническая замена р, q — j/, х является расширением точечного преобразования q = /(х), у = df /дх) р. Если в некоторых новых симплектических координатах х, у исходная гамильтонова система решается методом разделения переменных, то тогда эта система имеет полный набор инволютивных интегралов, квадратичных по импульсам (см. п. 4). Обсуждение возможности разделения переменных в системах с квадратичными интегралами содержится в работе [143]. Задача о наличии полного набора полиномиальных интегралов гамильтоновых систем будет рассмотрена в гл. УП1. [c.100] Отметим, что если мы допускаем произвольные канонические замены переменных в фазовом пространстве, то тогда любая- вполне интегрируемая гамильтонова система решается разделением переменных для этого достаточно перейти к переменным действие— угол. В такой общей постановке задача о существовании разделенных канонических координат по существу эквивалентна задаче о наличии полного набора инволютивных интегралов. [c.100] Для того чтобы указать полный набор коммутирующих интегралов в системе с разделенными переменными, вовсе не обязательно выписывать в явном виде полное решение уравнения (7.3). Например, в случае (а) из п. 2 ими будут функции Fi = fi pi,qi), Г2 = /2(/i(pi,ii),P2, 2),. .., Fn = Н, а вслучае (б) —функции Fq = = Н, F, = f, p q,) - Нg, p,,q,) (1 s п). Функции Fq, Fi. F находятся в инволюции, однако (ввиду равенства Fi -Ь... -Ь F = 0) не все они независимы. Отбрасывая одну из функций F к 1), получим набор независимых интегралов. [c.100] если гамильтонова система решается методом Гамильтона— Якоби с использованием разделения переменных, то в этом случае можно сразу же выписать (dim М)/2 независимых интегралов в инволюции. [c.101] Пусть ai 02 . .. а — различные положительные числа. Для любого X = (xi. [c.101] Отметим любопытную двойственность формул (7.7) и (7.8). [c.102] В итоге переменные р.1 и Л2, М2 разделяются, поэтому задача двух неподвижных центров интегрируема. Лагранж показал, что интегрируемость сохранится, если на точку будет дополнительно действовать упругая сила, направленная на середину отрезка, соединяющего притягивающие центры. Качественное исследование задачи двух центров можно найти в книге Шарлье [173]. Отметим еще, что гамильтониан (7.10) (с учетом формулы (7.11)) имеет вид гамильтониана лиувиллевой системы (7.5). [c.103] Положим п = 3 этот случай наиболее важен с точки зрения приложений. Здесь имеется 10 различных типов вырождения эллиптических координат среди них — обычные декартовы координаты в (см. [133], гл. 5). Укажем два наиболее интересных типа вырождения. [c.104] Уравнение (7.13) задает три различных семейства параболоидов. Через каждую точку проходят три поверхности из этих семейств, ортогонально пересекающие друг друга. Эллиптические координаты Якоби при 1 — оо переходят в новые координаты МьМ2,Мз, которые называются параболическими. [c.104] Укажем две задачи, решаемые методом разделения переменных с использованием параболических координат. [c.104] Отметим еще один предельный случай эллиптических координат, когда параметры а 6 с О неограниченно сближаются (например, а 6 + 0, с — 6-0). В пределе уравнение (7.12) для эллиптических координат Л будет иметь один изолированный корень и двукратный корень Л = -6. При этом семейство эллипсоидов превратится в семейство концентрических сфер с центром в начале координат, а одно- и двуполостные гиперболоиды вида (7.12) — в эллиптические конусы. В результате возникнут криволинейные ортогональные координаты в которые называются коническими (подробности можно найти, например, в [133, гл. 5]). [c.104] Вернуться к основной статье