ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Примеры вполне интегрируемых систем из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Действительно, матрица (4.3) кососимметрична и функция Га-лильтона коммутирует со всеми интегралами, поэтому ранг мат-,жцы (4.3) не превосходит 2п-4 = 2(п —2) = 2к. Интегрируемость л квадратурах гамильтоновой системы с п степенями свободы, допускающей 2п — 2 независимых интеграла, установлена Якоби с (юмощью метода интегрирующего множителя Эйлера [174]. Теорема Якоби уже использовалась нами в п. 7 2. [c.89] Теорема 3 выводится из теоремы Ли — Картана [12, гл. 3] и результатов работы [137]. [c.89] Один интеграл всегда существует — это интеграл энергии. Таким образом, для полной интегрируемости уравнений на h достаточно знать еще один независимый интеграл. Перечислим известные случаи интегрируемости. Как уже отмечалось, задача о тяжелом волчке содержит шесть параметров три собственных значения оператора инерции I, l2,h и три координаты центра масс b 2i 3 относительно его собственных осей. [c.89] Отметим, что все перечисленные интегрируемые случаи образуют в шестимерном пространстве параметров rj многообразия одной и гой же коразмерности, равной трем. [c.89] Так как Fi,F4 = О, то Fj —интеграл уравнений Кирхгофа с гамильтонианом Н = F4. Однако этот случай не является новым, поскольку коэффициенты гамильтониана F4 также удовлетворяют соотношению (5.5). [c.91] В случае несовпадения чисел aj, а2 и аз интеграл F4 был найден В. А. Стекловым. При ai = а2 аз из (5.6) и (5.7) вытекает, что 61 = 62 и l = С2 это — случай интегрируемости Кирхгофа. Если, наконец, ai = а2 = аз, то формулы (5.8) дают тривиальный вырожденный случай. Однако, как заметил А. М. Ляпунов, здесь в качестве гамильтониана надо взять функцию Л 4, Л = onst добавочным интегралом будет, очевидно Fj. Поэтому случаи интегрируемости Стеклова и Ляпунова также двойственны друг другу. [c.92] Параметры bud несущественные они не войдут в уравнения движения. В предположении F2 = т,р) = О имеется дополнительный интеграл F4 = [т — т + ср У -Ь Ат т, напоминающий по своей структуре интеграл Ковалевской. [c.92] Отметим, что в 9-мерном пространстве параметров случаи Кирхгофа, Клебша и Стеклова — Ляпунова задаются алгебраическими многообразиями одинаковой коразмерности, равной трем. [c.92] Соответствующие уравнения Гамильтона описывают движение материальной точки но евклидовой плоскости = х, у] в силовом поле с потенциалом третьей степени. Среди таких систем находится уже известная нам система Хенона—Хейлеса [а = Ь = = -е = 1). Перечислим известные случаи интегрируемости. [c.93] Вернуться к основной статье