ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Возмущение равномерных движений из "Методы качественного анализа в динамике твердого тела Изд2 " На траекториях вращений вокруг большей оси специальные канонические переменные вырождаются. Для исследования возмущений этих периодических решений следует по-другому ввести специальные координаты, принимая вместо оси Ог, например, ось Ох (см. гл. II, 1). [c.81] Теорема 1. Периодические решения невозмущенной задачи — невертикальные постоянные вращения вокруг главных осей инерции — не исчезают при добавлении возмущения, а при малых /х переходят в периодические решения возмущенной задачи, аналитически зависящие от малого параметра /х. Они существуют на каждом ненулевом уровне интеграла энергии. [c.81] Следовательно, на почти всех трехмерных уровнях энергии приведенная возмущенная система имеет шесть периодических решений при малых значениях /х. [c.81] В окрестности невертикальных равномерных вращений гамильтониан Ж = Жо + лЖх является аналитической функцией. Значит, можно воспользоваться результатами 1. В качестве интеграла, аналитического по независимым переменным и малому параметру, можно взять интеграл энергии. [c.82] При к ф О последнее соотношение противоречит неравенству треугольника А В + С, а при к = О легко вытекает из условия А В С. Таким образом, У ф 0. [c.83] Как было показано выше, эта величина никогда в нуль не обращается. [c.84] Для равномерных вращений вокруг большей оси инерции теорема доказывается точно так же. [c.84] Но этого не может быть из-за условия А В С. [c.85] Теорема 2. Если А = В ф С, то два периодических решения невозмущенной приведенной задачи — невертикальные постоянные вращения вокруг оси симметрии в противоположных направлениях — не исчезают при добавлении возмущения, а переходят при малых /х в периодические решения возмущенной задачи, аналитически зависящие от параметра /х. Они существуют на любом ненулевом уровне интеграла энергии. [c.85] Доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы 1. [c.85] Замечание 1. Случай А = В = С не рассматривается, ибо он относится к числу интегрируемых. [c.85] Замечание 2. В рассматриваемой задаче известен ряд частных случаев интегрируемости [36]. В основном это периодические решения, выраженные в конечном виде через известные функции. Некоторые из них (например, решения Бобылева-Стеклова) при малых значениях параметра ц представляют собой частные случаи периодических решений, существование которых доказывается теоремами 1 и 2. [c.85] Таким образом, в случае несимметричного тела вращения вокруг большей и меньшей осей являются решениями эллиптического типа, а вращения вокруг средней оси инерции имеют гиперболический тип. Несложно показать, что в случае А = В ф С вращения вокруг оси динамической симметрии — эллиптические, а вращения вокруг любой оси из экваториальной плоскости эллипсоида инерции вырождены. Если А = В = С,то любое равномерное вращение является вырожденным. [c.86] Вернуться к основной статье