ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Пример из динамики из "Методы качественного анализа в динамике твердого тела Изд2 " Приведем пример механической системы с двумя степенями свободы, удовлетворяющей условиям теоремы 1, но для которой замыкание не совпадает с областью В. [c.22] При к = О имеем интегрируемый случай независимое движение Рис. 2 точек по инерции. [c.22] Параметры эллипса обозначим через р и е е ф 0), радиус окружности — через К. Положение масс на окружности и эллипсе будем задавать угловыми координатами 1 1, (в полярной системе координат с началом в центре окружности). [c.22] Из одной теоремы Фукса [3, гл. II] следует, что все решения этого дифференциального уравнения имеют критические подвижные особые точки и, следовательно, неоднозначны на комплексной плоскости. Полученное противоречие доказывает высказанное выше утверждение. [c.24] Пусть область D плоскости R 7i, I2 имеет с прямой /2 = 0 непустое пересечение. Тогда SS П D является множеством, ключевым для класса A D). Действительно, пусть аналитическая функция f Ii, I2) равна нулю на SS П D. Фиксируя Ii = /°, получаем аналитическую функцию одного переменного, нули которой имеют предельную точку I2 = О, лежащую внутри ее области аналитичности. Значит, f равна нулю на любой прямой Ii = 7° и, следовательно, во всей области D. Таким образом, на множестве D Ii, I2 х T pi, 2 mod 2тг X —г, г) для системы с гамильтонианом (2.1) выполнены все условия теоремы 1, но множество SS П D не всюду плотно в D. [c.25] У канонической системы с функцией Гамильтона (1.1) в общем случае вековое множество всюду плотно в D. По теореме 1 у таких систем, вообще говоря, не существует, кроме интеграла энергии, дополнительного интеграла, аналитического по каноническим переменным и параметру л. [c.25] Теорема 2. Пусть система с гамильтонианом Жо невырождена, т.е. д Жо/дР фО. Пусть вековое множество ёМ задачи с функцией Гамильтона (3.1) является ключевым множеством для класса А 1, I ). Тогда система с гамильтонианом (3.1) не имеет интеграла, 1, (р, I, л), аналитического в области , I ) х Т р, I тоё 2тг х (- , е). [c.26] Замечание. С помощью теоремы Вейерштрасса о бесконечном произведении [5] можно доказать, что множество М С , I ) является ключевым для класса А Г, Г ) тогда и только тогда, когда М имеет предельную точку, лежащую внутри интервала (/, / ). [c.26] Доказательство теоремы 2 вытекает из следующей индуктивной леммы, которая потребуется нам в дальнейшем. [c.26] Разложим возмущающую функцию 1(1, 1) в сходящийся двойной ряд Фурье по угловым переменным р, Р. [c.30] Вернуться к основной статье