ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вывод теоремы из "Беседы о механике Изд4 " Теорема эта была найдена Ньютоном и изложена в Математических началах натуральной философии в той главе этого сочинения, которая говорит о сопротивлении жидкостей движению ) закон этого сопро1ивления выведен Ньютоном при помощи теоремы о подобии. Сама теорема получается у Ньютона, скорее, как гениальная интуиция, чем как результат строгого вывода. Почти через двести лет после того Бертран показал, что эта теорема есть непосредственное следствие начала Даламбера. [c.136] Для вывода ее сначала покажем, в какой форме изображается начало Даламбера, если применить к выражению всех обстоятельств движения декартовы прямоугольные координаты и рассматривать всякую систему как совокупность материальных точек. [c.136] Координаты любой из этих точек, имеющей массу яг, назовем х, у, г, а слагающие активной силы, приложенной к той же точке, обозначим через X, У, Z. [c.136] Это уравнение выражает начало возможных перемещений. [c.137] Уравнения движения получим, если в найденном условии равновесия активные силы заменим потерянными силами, т. е. равнодействующими активных сил и сил инерщти. [c.137] Это и будет та форма начала Даламбера, которую получает это начало, если применить декартовы координаты и рассматривать систему как совокупность материальных точек. [c.137] Тогда перемещения второй системы будут параллельны перемещениям первой системы ив), раз больше. В этом и состоит подобие перемещений двух систем. [c.138] Теперь нужно ввести условие относительно того, с какой скоростью вторая система будет копировать перемещения первой. Предположим, что соответственные части путей проходятся двумя системами не в одно и то же время пусть вторая система употребляет для этого время в т раз большее, чем первая т — число произвольное, но постоянное во все время движения и одинаковое для всех точек, составляющих систему. Итак, если в первой системе частица массы т в момент временп i имеет координаты х, у, z, то во второй системе соответственная частица, имеющая массу mjx, будет иметь в момент времени i = fx координаты Ьс, у, Iz. [c.138] Для ответа на этот вопрос обратимся к уравнению (33), изображающему движение первой системы, и посмотрим, как нужно преобразовать его, чтобы получить движение второй системы. [c.139] Заметим, что вторая система должна быть подобна первой во всех отношениях, т. с. не только части второй системы должны быть подобны частям первой системы, но должно соблюдаться также и подобие связей. Следовательно, возможные перемещения второй системы могут отличаться от возможных перемещений Ьу, первой системы только множителем, общим для всех частиц его можно отбросить. [c.140] В этом и заключается теорема Ньютона о подобии. [c.141] Для сил связи, конечно, получится такое же соотношение, как указанное для активных сил. [c.141] Вообразим себе любой случай движения системы, определяемый одним или несколькими уравнениями. Изменим единицы, которыми измеряются величины, входящие в уравнения движения тогда эти величины будут изображаться другими числами, чем прежде, сообразно с изменением единиц. [c.142] Вернуться к основной статье