ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Численные методы решения задач механики сплошных сред из "Ударно-волновые явления в конденсированных средах " Математическая сложность уравнений движения сплошной среды позволяет получить точные решения для ограниченного числа относительно простых течений. В одномерном случае это, например, рассмотренные выше ударные волны и простые волны разрежения, в двумерном — течение Прандтля — Майера [4]. Иногда, при определенных начальных и граничных условиях, задача имеет автомодельное решение и система уравнений газодинамики сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений [1], анализ которых значительно проще. Широкое развитие получили приближенные методы решения, основанные на упрощении исходной задачи. Здесь прежде всего необходимо отметить асимптотические методы [21], эффективность которых в самых разных областях физики всеми признана. Преимущество точных и приближенных аналитических решений очевидна. Они играют важную роль не только для понимания физической картины явления, но и необходимы при постановке математических задач. Но обычно, даже упрощенные уравнения не удается проинтегрировать, и они должны решаться численно. Поэтому методы численного моделирования широко используются для предсказания и изучения поведения сложных физических систем. [c.35] При численном решении уравнений (1.16) —(1.18) проводится замена полных дифференциалов приращениями, а коэффициенты усредняются. Полученные уравнения решаются итерациями. [c.35] В методе характеристик решение определяется в точках пересечения двух семейств положительных и отрицательных характеристик, а также в точках пересечения характеристик с ударными волнами, границами раздела вещества и границами счетной области. Таким образом, имеется четыре основных типа узловых точек расчетной сетки, которые в свою очередь разделяются на отдельные варианты, требуя применения несколько отличающихся вычислительных или логических процедур [22, 23]. Каждой точке приписываются координатные значения h vit. Поскольку время, вообще говоря, меняется от одной расчетной точки к другой, то в классических методах характеристик не рассматриваются дискретные временные слои. В действительности, некоторые характеристические схемы используют интерполяцию на сетку из точек, лежащих на одном и том же временном слое. Это позволяет вести маршевый расчет от одного временного слоя к другому. [c.36] Метод характеристик эффективен для решения задач с простой структурой течения, например с одной головной ударной волной. Преимущество его состоит в том, что разрывы и их взаимодействие рассматриваются в явном виде. Рассчитанные профили являются гладкими между разрывами, хорошо определяются детали течения. Однако его реализация довольно сложна, особенно в тех случаях, когда происходит формирование ударных волн в непрерывном течении, их взаимодействие, отражение от контактных и свободных границ. [c.36] Это обусловлено ограничением скорости распространения возмущений в среде и отражает тот факт, что возмущение от одного узла сетки не должны доходить до другого за время Д . Для задач с ударными волнами допустимые значения Дi уменьшаются примерно на множитель 1/3 [25]. [c.37] Другой важный принцип, который желательно соблюдать при конструировании вычислительного алгоритма, — это принцип консервативности, отражающий интегральные законы сохранения массы, импульса и энергии. Подробно различные численные методы, применяемые в механике сплошных сред, рассматриваются в [25 — 30]. Здесь же остановимся лишь на нескольких методах сквозного расчета одномерных течений с использованием псевдовяэкости. [c.38] Аналогичным образом аппроксимируются и уравнения (1.22) — (1.23). [c.39] В приведенной форме метод Лакса—Вендроффа является явным и имеет второй порядок точности. Он дает хорошие результаты для гладких течений при отсутствии резких градиентов и разрывов. В общем случае, когда присутствуют сильные ударные волны, необходимо добавлять в уравнения искусственную вязкость. Различные модификации этого метода широко используются в аэродинамических расчетах. В последнее время широкое применение нашла схема того же порядка аппроксимации — схема Мак —Кормака [32]. Оба подхода дают одну и ту же окончательную разностную формулу для одномерных уравнений в консервативной форме (1.21) —(1.23), но формулы для двумерных уравнений различны. Обзор по рассматриваемому вопросу можно найти, например, в [33]. [c.39] Лагранжевы методы. В форме Лагранжа независимые пространственные переменные относятся к системе координат, связанной с движущейся средой. Лагранжева формулировка уравнений гидродинамики привлекательна для численных расчетов. Здесь отсутствует нефизическая численная диффузия, возникающая при протекании жидкости через границы расчетных ячеек. Кроме того, траектории элементов жидкости сами по себе создают визуализацию течения. Лагранжевы методы естественно использовать при рассмотрении задач гидродинамики со свободными поверхностями, поверхностями раздела сред и другими четкими границами. [c.39] Лагранжевы методы позволяют естественным образом включить в расчет упруго-пластические деформации среды [34], химическую кинетику в реагирующих потоках [35] и другие реологические соотношения. Этот подход сочетает простоту с высокой эффективностью при решении одномерных задач. В неодномерном слз ае лагранже-вые сетки могут очень сильно искажаться. В результате расчеты дают большую погрешность и в конце концов становятся неустойчивыми. Обычно, эта проблема решается перестроением сетки в процессе расчета с формированием новой, более регулярной сетки, на которую интерполируются физические величины. [c.41] В расчетах по методу Годунова, как и во всех эйлеровых схемах, существенной оказывается численная диффузия в области контактного разрыва. Как показано [27], ширина диффузионного размьггия растет как корень квадратный от времени. Модификация схемы [36] с введением подвижных сеток значительно улучшает ее свойства. [c.42] Вернуться к основной статье