ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Свободные малые колебания консервативной системы с п степенями свободы из "Теоретическая механика " Уравнение (9.27) в механике называется уравнением частот или частотным уравнением. В теории дифференциальных уравнений оно называется характеристическим уравнением. [c.182] Будем обозначать через А(л , ) - билинейную форму и через (х, х) - квадратичную. [c.183] Квадратичная форма а п,х - вещественна. [c.184] Здесь X, у - вещественные векторы. [c.184] Получили вещественные слагаемые. [c.184] Доказательство вытекает из доказательства свойства 4. [c.184] Здесь и - амплитудный, а и - произвольный вектор. [c.185] Докажем, что корни характеристического уравнения (9.34) вещественные и положительные. Допустим противное, пусть Л - комплексный корень частотного уравнения. Тогда есть и комплексносопряженный корень Л (для уравнений с действительными коэффициентами). [c.185] В результате пришли к противоречию, т.е., наше предположение не верно и Л комплексным корнем не может быть, т.е., Л - вещественный корень. [c.185] Здесь А и С положительно определенные квадратичные формы и, следовательно, А положительно. [c.186] Так как ранг rang = п-1, следовательно, можно исключить любое уравнение, так как оно есть линейная комбинация остальных (в общем случае то, которое надо исключить, ставим на последнее место), т.е., имеем п-1 уравнение с п неизвестными. [c.186] Разделим каждое уравнение (9.35) на. [c.186] Здесь - определитель системы, - алгебраическое дополнение исходной системы. [c.187] Таж как система (9.36) была однородная, то в решении имеется произвольная постоянная с. [c.188] Главмые (нормальные) колебания. Возможность перехода к главным осям обеспечивает следующая теорема. [c.188] Получили линейное преобразование координат, запиеанное явно. Координаты 0J называются главньдми (нормальными) координатами. Переходом к главным координатам мы облегчили себе решение. Каждая координата колеблется со своей частотой. С учётом нормальных параметров имеем два уравнения с двумя неизвестными. [c.189] Сравнив (9.41) с (9.36) видим, что в качестве обобщенных координат удобно брать главные координаты. [c.189] Как видим, Г и П можно записать в канонической форме. Функция Лагранжа получится аналогично. [c.189] Вернуться к основной статье