ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема Лиувилля об интегрируемых системах из "Основы теоретической механики Изд2 " Задача интегрирования системы Гамильтона по трудности эквивалентна задаче интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби. Поэтому хотя установленная в предыдущем параграфе связь между этими объектами и являются полезной, но она не продвигает ни на шаг в деле построения решений. [c.301] Общих методов построения точных решений системы Гамильтона (или уравнения Гамильтона-Якоби) не существует. [c.301] Ниже мы изложим некоторые приближенные методы интегрирования таких уравнений. Они основаны на так называемом локальном подходе, когда рассматриваемая система является в некотором смысле близкой к некоторой, точно интегрируемой. К точно интегрируемым системам относятся линейные системы, а также системы, описываемые в излагаемой ниже теореме Лиувилля. [c.301] Содержательность теоремы Лиувилля заключается в том, что она показывает, как, зная п первых интегралов системы Гамильтона 2п-го порядка, можно свести всю задачу к квадратурам (обращение функций и взятие интегралов). Известно, что для системы 2п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для этой цели необходимо знание 2п - 1 первых интегралов. [c.301] Теорема Лиувилля. Пусть система Гамильтона q = Tip, р = = —Tiq, (9, р) имеет п первых интегралов в инволюции Hk[q, р) (f = 1,. . ., п) (два первых интеграла находятся в инволюции, если их скобка Пуассона равна нулю). [c.301] Маркеев А.П. Теоретическая механика. — М. Наука, 1990. [c.301] Поскольку функция Гамильтона д, р) сама является первым интегралом, то она либо совпадает с одним из Ик д, р)) либо является их функцией 71 = Р( 1,. ..,Ип)- Построенная каноническая замена переводит исходный гамильтониан в новый так 71 71= рк, либо так 71 71 = Р р, . .., р ). Система с подобным гамильтонианом в обоих случаях легко интегрируется. Теорема доказана. [c.302] Канонические переменные действие-угол вводятся в случае компактного многообразия уровня первых интегралов Нк и являются удобными при формировании в дальнейшем процедур приближенного интегрирования систем, близких к интегрируемым по Лиувиллю. [c.303] Иными словами, к-я компонента нового импульса есть среднее значение рйд вдоль замкнутой траектории на торе, получаемой при изменении параметра вк и при фиксированных остальных. [c.303] Основное свойство переменных действие-угол заключается в том, что каноническая замена q ip, /), р[ р, I) является 2тг-периодической по всем рк, так что выписанное решение представляет собой условно периодический колебательный процесс с п частотами u k I)- Доказательство этому факту можно найти в цитированной выше книге В.И.Арнольда. [c.304] Вернуться к основной статье