ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Корректность понятия устойчивости из "Основы теоретической механики Изд2 " Решение х = ф 1) называется устойчивым по Ляпунову, если устойчивым по Ляпунову будет это положение равновесия. Аналогичное определение имеет место и для асимптотической устойчивости. [c.155] Теорема. Если положение равновесия системы х = Х 1, х) устойчиво для начального момента времени = о, то оно является устойчивым и для любого последующего момента времени / = 1, принимаемого за начальный. [c.155] Здесь X = ( , Хо) — решение системы с x( o) = Xq. [c.155] Из того, что отображение Об С является взаимно непрерывным, следует, что все внутренние Точки отображаются во внутренние точки С. Поскольку положение равновесия есть внутренняя точка Об, то оно остается внутренней точкой и в С. Значит, расстояние от нее до границы области С положительно. Это расстояние и представляет собой искомое 1. Теорема доказана. [c.156] Не столь хорошо дело обстоит с выбором переменных, в которых описывается система. Устойчивая в одних переменных она может оказаться неустойчивой в других и наоборот. [c.156] При возмущении начальных условий имеем возмущенное решение X = Хо + Хо + /2. Разность между возмущенным решением и исследуемым на устойчивость х — х] = хо сколь угодно мала при сколь угодно малых хо для любого момента времени. [c.156] Для того чтобы исследование устойчивости было корректным, мы должны, во-первых, твердо знать, по отношению к каким переменным нас интересует устойчивость. И, во-вторых, если процедура исследования требует перехода к новым переменным, мы должны гарантировать эквивалентность свойств устойчивости в старых и в новых переменных. [c.157] Замены переменных, не изменяющие свойств устойчивости исследуемых решений, называются допустимыми. [c.157] Доказательство теоремы предоставим читателю в качестве упражнения. [c.157] Вернуться к основной статье