ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Исходные предположения из "Статистическая оптика " Для упрощения анализа мы сделаем ряд предположений относительно статистических свойств суммируемых элементарных фазоров, которые, как правило, выполняются в представляющих интерес практических задачах. [c.51] Учитывая, что г и / представляют собой суммы многих независимых случайных вкладов, мы приходим к выводу, что в силу центральной предельной теоремы г и i будут приблизительно гауссовскими случайными переменными при больших значениях Л ). Чтобы определить детальный вид совместной плотности распределения для г и i, мы должны сначала вычислить г, /, (Т , и их коэффициент корреляции р. [c.52] Таким образом, оказывается, что действительная и мнимая части имеют нулевые средние значения. [c.52] Следовательно, действительная и мнимая части результирующего фазора являются некоррелированными. При этом нулевые средние значения, равенство дисперсий и отсутствие корреляции имеют место при любом конечном или бесконечном N. [c.53] В приложении Б читатель найдет, что если вместо однородного распределения для фазы элементарного фазора выбрано другое распределение, то полученная совместная плотность распределения, вообще говоря, не будет иметь нулевых средних значений, одинаковых дисперсий и нулевого коэффициента корреляции. Контуры же постоянной плотности распределения на комплексной плоскости будут эллипсами (см., например, задачу 2.10). [c.54] Но этот интеграл точно равен интегралу от рэлеевской плотности распределения п поэтому должен быть равен единице. Отсюда мы заключаем, что фаза 0 суммы фазоров распределена на отрезке (—я, я) однородно, т. е. [c.56] Заметим, что совместная плотность распределения Рле(а. 6) может быть представлена в виде простого произведения маргинальных плотностей распределения Рл(а) и ре(0). Следовательно, Л и 0 являются независимыми случайными переменными, как и действительная и мнимая части Я и I, рассмотренные в п. Б. [c.56] Сумма постоянного фазора и суммы случайных фазоров. [c.56] Без потери общности можно принять, что известный фазор является действительным и положительным и имеет длину х (это просто эквивалентно выбору начала отсчета фазы, которое соответствует фазе постоянного фазора). На рис. 2.13 изображена интересующая нас комплексная сумма. [c.56] Таким образом, единственным следствием добавления известного фазора является изменение величины действительной части результирующего фазора. В пределе больших N совместное распределение величин R и / остается приблизительно гауссовским, но изменяется среднее значение, т. е. [c.57] На рис. 2.14 представлены кривые зависимости величины арА а) от а/а при разных значениях параметра k = s/a. При увеличении модуля известного фазора плотность распределения изменяется по форме от рэлеевской плотности до рассматриваемой в следующем пункте параграфа приблизительно гауссовской плотности со средним значением, равным S. [c.57] График функцин рв(0) при разных значениях k = s/a представлен на рис. 2.15. При /г = О распределение однородно, а с увеличением k кривая плотности распределения сужается, сходясь к б-функции при 0 = 0, т. е. при значении фазы, равном фазе постоянного фазора. [c.59] Если известный фазор по модулю значительно больше суммы случайных фазоров, то результаты, полученные в предыдущем пункте, весьма упрощаются. Здесь мы рассмотрим приближенную форму выражений для р.л(а) н Ре(0), когда s сг или когда имеет место эквивалентное неравенство А 1. Один из подходов состоит в том, чтобы применить условие s сг к выражениям (2.9.20) и (2.9.25) и найти приближенные формы, учитывая математические упрощения. Однако мы здесь выбе рем более физический подход, который приводит к тому же самому результату, но более нагляден. [c.59] Постоянный фазор большой длины и малое шумовое облако . [c.60] Естественным обобщением понятия случайной переменной является понятие случайного процесса, когда основными непредсказуемыми, т. е. случайными, событиями являются не числа, а функции (обычно времени или пространственных переменных или и того и другого). Таким образом, теория случайных про цессов имеет дело с математическим описанием функций, струк тура которых не может быть заранее детально предсказана Подобные функции играют чрезвычайно важную роль в оптике например, амплитуда волны света, излучаемого любым реаль ным источником, имеет свойства, которые изменяются со вре менем в какой-то мере непредсказуемо. В данной главе мы из ложим основные понятия теории таких случайных явлений, де лая упор на функции времени. Обобщение на случай функций пространственных переменных не вызывает затруднений. [c.65] Как правило, в обозначении случайного процесса [символ U(t)] и соответствующих выборочных функций u t) зависимость случайного процесса от множества событий Л явно не указывается. Следует, однако, помнить, что процесс U ()—это все множество возможных значений u t) вместе с мерой их вероятностей. [c.65] В каждом случае должна быть вычислена вероятность, связанная с соответствующим событием. Заметим, что если одну и ту же выборочную функцию порождают несколько разных событий, то должны быть раскрыты все возможные пути генерации каждой выборочной функции и вероятностью, связанной с этой выборочной функцией, становится вероятность того, что имеет место любое из этих событий. Таким образом, затратив много труда, мы перечислим все выборочные функции множества вместе с их вероятностями это и будет полным описанием случайного процесса. [c.66] Ри(ии 2,. .., а 1, 2,. .., tk) при всех к. Такое описание эквивалентно полному описанию, рассмотренному выше, и его точно так же трудно провести. На практике в полном описании никогда не бывает необходимости. [c.67] Вернуться к основной статье