ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Парадоксы скрытых инвариантов из "Вязкие течения с парадоксальными свойствами " Рассмотрим ситуации со скрытыми инвариантами, возникающие в теории затопленных струй. Струйные течения, в частности закрученные струи, играют не только важную практическую роль, но и в теоретическом плане имеют столь нетривиальные особенности, которые не перестают давать пищу для ума исследователей в течение более чем полувека. Задача о закрученной струе впервые была сформулирована в рамках теории пограничного с.поя н приближенно решена Лойцянским в 1953 г. [90]. Решение строилось в виде асимптотического ряда по целым обратным степеням расстояния от точечного источника струи. Заданными величинами, характеризующими закрученную струю, считались интегралы сохранения импульс /, расход Q и момент количества движения L. [c.33] В такой постановке задача получилась неавтомодельной. Ее решение характеризовало слабую закрученную струю, у которой вращательная скорость убывала гораздо быстрее, чем осевая или радиальная. Это пе очень соответствовало опытным данным [5], которые для достаточно сильных струй демонстрировали в приосе-вой зоне сложные возвратные течения, тогда как теория их не давала. Это обстоятельство послужило стимулом для наращивания числа приближений (вплоть до седьмого ), но без особого успеха. [c.33] ВОЙ симметрии течения относительно оси z, когда 9/9ф = 0. Поскольку в этих условиях из заданных параметров v и J нельзя составить масштаб длины, из соображений размерности следует не-обходимость автомодельного решения вида Vi = vfi Q, Re)// , где Re = i//p/v — число Рейнольдса. Тем самым получается постановка задачи об автомодельных струях, наиболее ярким представителем которых является струя Ландау [86]. [c.34] На автомоде,льных решениях данного класса инвариант /ф имеет конечное значение и может служить характеристикой закрученной струи, у которой Ьг = 0. Реальные струи, разумеется, могут иметь конечные значения как и Q, но тогда они должны рассматриваться как неавтомодельные. [c.34] СИЛЬНОЙ закрученной струи, порождает течение, свойства которого вдали от источника вполне согласуются с наблюдениями [5]. [c.35] при достаточно интенсивном врагцении струя может разомкнуться с возникновением вблизи оси циркуляционной зоны с возвратным течением. При этом, как оказывается [37], в определенной области параметров возможна неединственность решений, одно из которых может соответствовать сомкнутому режиму течения, а другое — разомкнутому. Замечательно, что эти свойства согласуются с наблюдениями. Достаточно сильно закрученную струю буквально мановением руки удается переводить из одного состояния в другое и притом оба состояния относительно устойчивы Разумеется, в опыте речь идет о турбулентных струях, но тогда это свидетельствует в пользу гипотезы турбулентной вязкости, которая хорошо работает для описания свободной турбулентности [37, 144]. [c.35] Следует также отметить, что вихревая нить принципиальпо отличается от точечного или сферического источника тем, что Уф = оо на полуоси 0 = я. Как показано в [37], уравнение для циркуляции Г = допускает лишь монотонные решения, так что в рамках автомодельного описания невозможно выполнить условия регулярности Г(0)—Г(я)=0. Тем самым источник автомодельной закрученной струи не может быть точечным. Впрочем, не исключено, что введение переменной турбулентной вязкости Vг = Vг(0) способно спять это ограничение. Попытка такого рода предпринята в работе [255], к сожалению, оказавшейся неверной (см. гл. 2). Тем не менее возможность выполнения условий Г(0)=Г(я)=0 за счет подбора функции Уг(0) в принципе не исключается. Таким образом, хотя реальные струи вовсе не обязательно связывать с точечным или сферическим источниками, последние могут порождать лишь неавтомодельные ламинарные закрученные струи. [c.35] Первая попытка построения теории пеавтомодельной струи без вращения с конечным расходом принадлежит Румеру [112, который предположил, что решение может быть построено в виде разложения по целым обратным степеням сферического радиуса. Как показано в [47], такое предположение некорректно. Решение должно строиться в виде разложения по дробным степеням Л , причем показатели должны находиться как собственные числа некоторого линейного оператора. Кроме того, и это главное, правильное разложение помимо члена должно содержать член (1п/ )// 2, причем оба с произвольными константами. Еще одну произвольную постоянную, определяемую импульсом струи, содержит автомодельный член 1/Д. [c.35] Если бы интегрирование осуществлялось по полной сфере, то при Уф = 0, как и в случае (27), было бы Ьх=0. Именно поэтому инвариант (29) оставался незамеченным в предшествующих работах, что тем не менее не мешает ему быть полноправным интегралом сохранения. [c.36] При истечении из точечного или сферического источника, когда /ф = О, а Ь = = О, получается неавтомодельный случай Лойцяпского. Если, однако, отказаться от приближения теории пограничного слоя (в которой перестает быть инвариантом), а рассмотреть задачу в полной постановке, то при достаточно больших значениях соответствующее решение описывает неавтомодельную зону возвратных течений, имеющую конечную протяженность. Такая возможность полностью соответствует опытным данным. Подробно вопрос о неавтомодельных струях рассматривается в гл. 4. [c.36] В связи с обнаружением скрытых инвариантов /ф и в новом свете предстают экспериментальные результаты по осесимметричным следам, полученные под руководством Васильева [17]. Как известно, автомодельный след, возникающий при обтекании тела, в рамках теории пограничного слоя определяется только одним параметром — силой гидравлического сопротивления, которая играет роль интеграла сохранения импульса. В докторской диссертации Букреева [16] тем не менее показано, что два разных тела, имеющих примерно одинаковое сопротивление, образуют автомодельные, но совершенно различные следы, что демонстрирует, так сказать, память формы . Весьма важно, что эффект отсутствует в плоских следах. По нашему мнению, объяснение заключается в существовании скрытого инварианта (точного или адиабатического ), различного для разных исследованных тел. [c.36] Рассматриваемый здесь парадокс, хотя и не принадлежит к числу новых [32], для данной книги имеет особое значение, поскольку является одним из главных стимулов ее написания, поэтому опишем его подробно. [c.37] Взаимодействие течения типа (1) с плоскостью часто встречается в различных технических устройствах, например в вихревой камере [37]. Эта проблема имеет отношение к таким интригующим явлениям природы, как смерчи, пыльные дьяволы , торнадо и т. п. Из-за взаимодействия вихря с плоскостью в ее окрестности возникают вторичные течения, подчас имеющие очень высокую интенсивность. Это происходит по следующим причинам. Вдали от плоскости согласно (1) Ор/дг = риЦг, так что градиент давления уравновешивается центробежной силой. На самой плоскости вследствие прилипания поле центробежных сил исчезает и градиент давления компенсируется возникновением радиального течения в направлении перепада давления, т. е. к оси вращения, которое должно иметь скорость, обуславливающую появление на плоскости сил трения, компенсирующих ослабление центробежных сил. Эти явления, называемые торцевым эффектом, играют существенную роль в процессе движения частиц в вихревой камере. Они же способствуют подсосу к основанию смерча пыли и других предметов, которые делают видимым это явление природы. [c.37] Начало изучения взаимодействия вихревой нити с плоскостью положено Тейлором [247], который, исходя из обычных предположений теории пограничного слоя, допустил, что и при наличии плоскости соотношения (1) сохраняют силу всюду, за исключением узкой пристенной зоны, где образуется пограничный слой. Вообще говоря, этот пограничный слой трехмерен, так как из-за вторичных течений в потоке появляются все три компоненты скорости. Однако Тейлор предположил, что толщины пограничных слоев по радиальной б и окружной А скорости совпадают. [c.37] Решение той же задачи, свободное от указанного предположения, дано Куком [164], откуда следует, что обе толш,ипы нарастают, проходят через максимум и затем постепенно убывают. Обе толщины б и Д обратно пропорциональны Re = (ГрЛ ) как это обычно имеет место в теории пограничного слоя. Таким образом, решение Кука не выявило никаких специфических особенностей у данной задачи. [c.38] В более общем виде задача была рассмотрена Мюллером [212], который исходил из полных уравнений Навье — Стокса. Последние были сведены к системе обыкновенных дифференциальных уравнений и Мюллер попытался построить решение, пользуясь сообрагке-ниями теории пограничного слоя. В результате было получено решение, близкое к решению Кука. Решения уравнений Навье — Стокса того же класса были получены в работах Лонга [199, 200], по без учета сингулярности на оси и условий прилипания па плоскости. [c.38] После перечисленных работ может создаться впечатление, что в данной задаче все обстоит благополучно и решение фактически получено. Тем не меиее основные математические трудности здесь остались непреодоленными. Соответствующий анализ показал, что решение задачи существует лишь при малых числах Рейнольдса и не существует при больших [32]. [c.38] Для пнтегродифференциальной системы (16) —(17) достаточно поставить одно условие х(0)=0, которое следует из условия г/(0) = 0. [c.40] В последнем равенстве убеждаемся путем прямого вычисления интегралов. Итак, установлен основной факт Р х) 0. [c.41] В дальнейшем нам неоднократно придется ссылаться на теорему Чаплыгина [141] о дифференциальных неравенствах, которая утверждает следующее. Пусть даны две непрерывные функции у х) и г х), удовлетворяюш,ие условиям у(а) = г а)=т и уравнениям у = х, у) 2 =/г(х, г). Тогда из неравенства /1(2 , г/) 12 х, у) следует, что у г, а из неравенства /1(2 , у) 12(х, у), что у г всюду, где г/ и 2 непрерывны. [c.41] Вернуться к основной статье