ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Конечно-амплитудные режимы из "Устойчивость конвективных течений " В этом параграфе мы изложим результаты исследования структуры спектров возмущений, границ устойчивости и характеристик критических возмущений плоскопараллельного конвективного течения в вертикальном слое с границами разной температуры. Большинство результатов получаются путем численного решения спектральной задачи (1.24)-(1.26). [c.26] На рис. 2 приведен пример спектра декрементов. Его вид вполне соответствует общим представлениям о структуре спектров возмущений течений с нечетным профилем скорости, изложенным в 2. При малых Gr все декременты вещественны и положительны, что соответствует монотонному затуханию возмущений скорости. Видны попарные слияния вещественных уровней с порождением колебательных возмущений. Образующиеся в результате слияний пары колебательных возмущений распространяются в потоке в виде затухающих волн 0) с фазовыми скоростями с = i k. Двум комплексно-сопряженным декрементам соответствуют волны, бегущие в потоке в противоположные стороны с одинаковыми по величине фазовыми скоростями ( вырождение волновых возмущений). [c.26] НОВОГО числа. Анализ подобного рода спектров позволяет построить нейтральную кривую устой- 200 чивости на плоскости (А,Сг). [c.27] При Сг Сг нормальные возмущения с любым волновым о числом затухают, — основное течение устойчиво. При превышении критического числа Сг, появляется интервал волновых 0,08 чисел нарастающих возмущений Соответствующее минимуму волновое число куп определяет дли- 0,0 ну волны 2тг/А наиболее опасного возмущения. Со стороны больших к нейтральная кривая ограничена асимптотой к=ко все возмущения мелкомасштабной структуры ск ко затухают вследствие вязкой диссипации. [c.27] Согласно данным расчета [29] критические параметры таковы Сг = = 498, кт = 1,3- Позднее к этой задаче обращались многие авторы. По-видимому, наиболее точными являются значения, полученные в работе Рута [31] Сг =495, 628, = 1,344. [c.27] Таким образом, течение с кубическим профилем скорости, в отличие, например, от течения Пуазейля, становится неустойчивым при сравнительно небольших скоростях. Это обусловлено невязкой природой неустойчивости, связанной с наличием точки перегиба на профиле скорости. Кризис течения вызывается нестабильностью границы раздела между встречными конвективными потоками, что подтверждается анализом формы критических возмущений (см. ниже). [c.27] На рис. 3 приведены примеры спектров декрементов. Видно, что при малых Сг декременты как гидродинамических (д), так и тепловых (1 ) уровней вещественны. С увеличением Сг происходит попарное слияние с порождением комплексно-сопряженных декрементов (возникновение колебательных возмущений). Простые пересечения уровней, как и в случае спектров изотермических течений, отсутствуют. Интересно отметить особенность, хорошо видную на рис. 3, б. Гидродинамический уровень Д] и тепловой уровень 1 1 при некотором значении Сг сливаются, образуя комплексно-сопряженную пару далее, при увеличении Сг, снова наступает расщепление на две вещественные ветви. [c.29] Структура спектра существенно меняется при изменении числа Прандтля. При малых Рг нижнюю часть спектра составляют гидродинамические уровни (при высокой теплопроводности жидкости тепловые возмущения быстро затухают и соответствующие декременты относительно велики). Спектр нижних гидродинамических уровней в предельном случае Рг 1, как и можно было ожидать, в точности совпадает со спектром изотермического течения с кубическим профилем. При Рг 1 декременты гидродинамических и тепловых возмущений одного порядка величины д- и -ypoв ffl спектра чередуются. При увеличении Рг происходит просачивание тепловых уровней в нижнюю часть спектра. [c.29] Анализ спектров позволяет получить информацию об устойчивости течения. На рис. 3, а видно, что при малых Рг неустойчивость имеет монотонный характер и вызывается вещественным гидродинамическим уровнем До - С увеличением числа Прандтля в связи с проникновением в нижнюю часть спектра тепловых уровней происходит перестройка спектра, и при Рг = 1, например, монотонная неустойчивость порождается смесью уровней Д1 и их - При больших Рг монотонная неустойчивость снова передается к основному гидродинамическому уровню До, к которому примешивается один из верхних тепловых уровней (1 6 при Рг = 10). [c.29] На рис. 4 изображена нейтральная кривая монотонной неустойчивости для Рг = 1 положение асимптоты ко = 2,275 не зависит от Рг. Варьируя число Прандтля, можно определить зависимость минимального критического числа Грасгофа Сг и критического волнового числа от Рг. Важно заметить, что хотя при изменении Рг происходит существенная перестройка спектра, граница монотонной неустойчивости остается мало чувствительной к этим изменениям. Минимальное критическое число Грасгофа во всей области изменения числа Прандтля слабо зависит от этого параметра. Этот факт, несомненно, связан с гидродинамической природой кризиса. [c.29] Для определения формы характеристических возмущений необходимо найти собственные функщ и спектральной задачи (1.24)-(1.26). Расчеты с помощью методов Галеркина и пошаговой ортогонализации проведены в работах [35, 27]. Суммарное течение, образующееся в результате суперпозиции основного плоскопараллельного течения и возмущения, представлено на рис. 50. Как видно, монотонная неустойчивость развивается в виде неподвижных вихрей на границе раздела встречных потоков. [c.30] За появлением волновой моды неустойчивости легко проследить, анализируя изменение структуры спектров декрементов с увеличением числа Прандтля. При малых и умеренных Рг в спектре имеются затухающие колебательные моды. При достаточно больших Рг колебательные возмущения оказываются нарастающими в некотором интервале чисел Грасгофа. Ситуация иллюстрируется рис. 6, на котором изображена нижняя часть спектра при значениях параметров Рг = 15, А = 0,5. Имеются три нейтральные точки. Одна из них (верхняя) дает монотонную неустойчивость (смесь ветвей 1 6 и До)- Две другие выделяют область значений Сг, внутри которой общая вещественная часть декрементов пары VQ отрицательна, т.е. нарастают два возмущения колебательного типа. [c.30] Важно подчеркнуть, что нарастание температурных волн существенно обусловлено их взаимодействием с гидродинамическими возмущениями. Решение задачи о распространении чисто температурных волн в потоке без учета взаимодействия тепловых и гидродинамических возмущений [37], естественно, приводит к выводу о затухании тепловых волн при любой скорости течения. [c.31] В случае же монотонной неустойчивости, когда Сг практически не зависит от Рг, критическая разность температур (g h ). [c.33] Критическое волновое число колебательной моды растет с Рг, стремясь к предельному значению = 1,25 при Рг За исключением узкой области вблизи Рг, критическое волновое число — порядка единицы (рис. 9), т.е., как и в случае монотонной неустойчивости, характерный масштаб критических возмущений порядка толщины слоя. [c.33] Скорость роста колебательных возмущений в области неустойчивости может быть охарактеризована максимальным по Сг значением инкремента I Х,. I вдоль разреза к = кт - Это значение приведено в зависимости от Рг на рис. 10. Колебательные возмущения по сравнению с монотонными (при сопоставимых надкритичностях) обладают весьма малой скоростью роста. [c.33] Характеристики колебательной неустойчивости изучались в ряде работ [34, 26, 38, 39] полученные данные подтверждают результаты [36]. Критические параметры волновой неустойчивости при разных числах Прандтля по данным разных авторов приведены в табл. 2. [c.33] конвективное течение между вертикальными плоскостями, нагретыми до разной температуры, обнаруживает неустойчивость относительно монотонных и колебательных возмущений (рис. 8). При значениях числа Прандтля Рг Рг = 11,562 неустойчивость вызывается монотонными возмущениями гидродинамической (невязкой) природы. При Рг Рг появляется еще одна мода неустойчивости, связанная с распространением в потоках нарастающих температурных волн. При Рг 12,45 волновая мода становится более опасной - ей соответствуют меньпше критические числа Грасгофа О. [c.34] Собственным числом этой задачи является фазовая скорость и. [c.35] Амплитуды po И Фо И собственное число и могут быть найдены численным интегрированием краевых задач (4.2) и (4.3) методом Рунге - Кутта. [c.35] Вернуться к основной статье