ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые свойства спектра возмущений из "Устойчивость конвективных течений " Найденные в предыдущем параграфе распределения скорости и температуры в основном плоскопараллельном течении (1.8) описываются нечетными профилями. Это свойство симметрии приводит к появлению некоторых характерных особенностей спектра возмущений, рассмотрению которых посвящен данный параграф. Сначапа обсуждаются свойства спектра в чисто гидродинамической постановке, полученные в [14]. Затем мы возвращаемся к задаче в полной постановке [15]. [c.13] Краевая задача, сопряженная с (2.1), имеет вид ф +8Н ф = - Аф- х = . ф = ф = 0. [c.14] Заметим, что при Сг = О краевая задача становится самосопряженной. [c.14] при малых числах Грасгофа (пока справедливы разложения по степеням g) возмущения течения с нечетным профилем скорости монотонны фазовые скорости нормальных возмущений равны нулю. [c.15] из системы (2.5) видно, что в силу нечетности оператора Я поправки четных порядков . имеют ту же четность, что и невозмущенная амплитуда, а поправки нечетных порядков кр , кр ,.. . [c.16] Нетрудно видеть, что аналогичными свойствами обладают и решения сопряженной задачи. [c.16] Входящий в это соотношение интеграл обозначим/. В случае колебательных возмущений X X, и потому необходимым условием появления колебательных возмущений является обращение в нуль интеграла/. [c.16] Интегралы J, надо полагать, непрерьюно зависят от числа Грасгофа поэтому при малых Сг они на четных уровнях отличны от нуля и сохраняют тот же знак, что и при Сг = О, Обращение интеграла/ на каком-либо уровне в нуль может поэтому произойти лишь при конечных Сг. С этим обстоятельством и связано появление комплексных декрементов (колебательных возмущений). [c.17] Для более подробного выяснения условий возникновения колебательных возмущений рассмотрим пересечение двух соседних вещественных уровней спектра (такие уровни всегда обладают разной четностью). С этой целью воспользуемся методом Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица [16], применявшимся в теории электронных термов молекул М.И. Шлиомис ([17] см. [8], 26) использовал этот метод при исследовании пересечений уровней спектра возмущений равновесия неравномерно нагретой проводящей жидкости в магнитном поле. [c.17] В области вещественности декрементов, в которой справедливы разложения (2.4), матричные элементы Кц и 22 вещественные, а 12 и У21 — мнимые величина же, стоящая под корнем в (2.17), всегда вещественная. [c.17] Рещая систему уравнений для коэффициентов С1 и С2, можно найти амплитуды и и показать, что в точке Сг они совпадают в этой точке обращаются в нуль оба интеграпа 7+ иУ (см. (2.14) ). [c.18] соседние вещественные декременты либо вовсе не пересекаются, либо сливаются в некоторой точке Сг, образуя комплексно-сопряженную пару. [c.18] Подчеркнем, что выводы относительно структуры спектра, содержащиеся в пп. 2 и 3, не связаны с конкретным видом профиля скорости основного течения. Существенным является лиип свойство нечетности этого профиля. [c.18] в неподвижном слое жидкости возможны гидродинамические и тепловые возмущения. Их декременты вещественны и положительны. Положение д-уровней не меняется с изменением числа Прандтля Рг, тогда как -уровни при увеличении Рг сгущаются в нижней части спектра. [c.19] Если увеличивать разность температур между плоскостями (при этом число Грасгофа будет увеличиваться от нуля), то уровни гидродинамических и тепловых возмущений будут смещаться. Ясно, что при малых Сг эти смещения невелики. Поэтому можно (по крайней мере при малых Сг) условно говорить о д- и -ветвях спектра, сохраняя классификацию, справедливую, строго говоря, лишь при Сг = 0. [c.19] Чисто гидродинамический подход, развитый в предыдущих пунктах, позволяет следить лишь за д-ветвями спектра. В полном же спектре присутствуют еще и -ветви. Оба типа возмущений, разумеется, независимы лишь в предельном случае Сг = 0. [c.19] Вернуться к основной статье