ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Плоский горизонтальный слой из "Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости " краевая задача для нормальных возмущений равновесия проводящей жидкости в магнитном поле не является самосопряженной. Поэтому определяемые ею собственные числа — декременты возмущений Я — могут быть комплексными, а сами возмущения, вообще говоря, не являются монотонными. [c.181] Можно получить необходимое условие появления в спектре комплексных декрементов (и, следовательно, колебательных возмущений). Для получения этого условия умножим (26.1) соответственно на V, Т, Н и проинтегрируем по полости. [c.181] Заметим, что если решение (V, Т, Н) является вещественным, то нормировочный интеграл / совпадает с интегралом /, определенным выше (26.7). [c.182] Первая задача определяет спектр возмущений скорости и температуры жидкости в отсутствие магнитного поля эти возмущения (при подогреве снизу) монотонно затухают или нарастают в зависимости от значения параметра — числа Рэлея. Вторая задача дает спектр нормальных возмущений магнитного поля в неподвижной проводящей жидкости легко убедиться в том, что все эти возмущения монотонно затухают. При отсутствии внешнего поля оба типа возмущений совершенно независимы. Будем называть первые из этих возмущений конвективными , а вторые — магнитными . Обе задачи являются самосопряженными, и поэтому их решения могут быть выбраны вещественными. [c.183] Подставляя разложения (26.13) и (26.14) в исходную систему (26.1), можно получить уравнения последовательных приближений для коэффициентов разложений. Мы не будем приводить здесь детали вычислений. Укажем лишь, что эти разложения могут быть построены, и они оказываются веществен- ными ). [c.184] Вопрос о сходимости рядов по степеням числа Гартмана остается открытым. Ясно, однако, что до тех пор, пока эти ряды сходятся, описываемые ими возмущения — как конвективные, так и магнитные — меняются со временем монотонно. Появление в спектре осциллирующих возмущений возможно, таким образом, лишь при конечном значении М. [c.184] Шлиомис исследовал пересечение уровней спектра декрементов с помощью метода Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [ ], применяемого в теории электронных термов молекул. [c.185] Таким образом, становится понятным появление в спектре колебательных возмущений они возникают в результате слияния двух вещественных уровней разного типа, обладающих одинаковой симметрией. [c.186] Вместе с однородными граничными условиями эти уравнения составляют краевую задачу на собственные значения. Собственные числа С и соответствующие им решения определяют спектр критических чисел Рэлея и критических движений ). [c.187] Отсюда видно, что критическое число Рэлея монотонно растет с ростом М магнитное поле приводит к стабилизации равновесия. Знак равенства в (26.21) соответствует случаю rot Я = О, т. е. таким критическим возмущениям, при которых не возникает индуцированный ток. Ясно, что этот вырожденный случай, при котором критическое число Рэлея не зависит от поля, возможен лишь при весьма специальной форме полости и ориентации внешнего Поля. [c.188] Что же касается области сильных полей, то из (26.21) следует, что при М 1 критическое число Рэлея растет не быстрее, чем М2. [c.189] Общие выводы о зависимости критического числа Рэлея от поля в случае монотонных возмущений подтверждаются результатами решения конкретных задач (см. формулу (25.10), а также задачи, рассмотренные в двух следующих параграфах). [c.189] В этом параграфе мы рассмотрим конвективную устойчивость равновесия плоского горизонтального слоя проводящей жидкости, помещенной в однородное магнитное поле. Как уже указывалось, с-этой задачи началось исследование влияния поля на конвективную устойчивость. Первой была работа Томпсона [ ], в которой рассматривался слой со свободными границами. Томпсон исследовал монотонную неустойчивость, а также показал (на примере невязкой жидкости), что в присутствии магнитного поля возможна и колебательная неустойчивость. Вскоре Чандрасекар р ] независимо рассмотрел задачу о монотонной неустойчивости для случаев твердых и свободных границ слоя, а также получил решение задачи о колебательной неустойчивости слоя вязкой жидкости о свободными границами. Подробное изложение вопроса содержится в книге Чандрасекара [ . Мы приведем здесь лишь основные результаты. [c.189] Здесь числа Рэлея R и Гартмана М определены через толщину слоя Al — плоский оператор Лапласа в переменных (х, у). [c.189] Амплитудные уравнения (27.1) вместе с соответствующими граничными условиями, которые будут обсуждены позже, определяют спектр характеристических возмущений. [c.190] Эта система обобщает на случай проводящей жидкости в магнитном поле соответствующую систему амплитудных уравнений (6.9), (6.10). [c.190] если внешнее поле произвольно ориентировано относительно слоя, то критическое значение числа Рэлея определяется лишь поперечной к слою (вертикальной) составляющей внешнего поля. Отличие от случая чисто поперечного поля заключено в форме критических возмущений. При поперечном поле (как и в случае отсутствия поля) на границе устойчивости определено значение km = ki kl, а не отдельно k и /гг- Таким образом, при критическом значении числа Рэлея возможны пространственные возмущения с различным соотношением ki и 2- Наличие продольной (горизонтальной) составляющей магнитного поля снимает это вырождение наиболее опасные критические возмущения имеют форму конвективных валов, оси которых параллельны продольной составляющей поля. [c.193] Хотя граничные условия (27.4) и (27.9) весьма искусственны, полученное с иХ помощью частное решение полезно в том отношении, что оно позволяет элементарно исследовать основные закономерности колебательной неустойчивости. Что же касается количественных результатов, то в наиболее интересном случае сильных полей они, как оказывается, слабо зависят от граничных условий. [c.194] Вернуться к основной статье