ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема Лагранжа — Дирихле из "Теоретическая механика Очерки об основных положениях " Пусть все связи материальной системы голономны, идеальны, двусторонни и стационарны, а все заданные силы потенциальны, пусть в некотором положении 5 системы потенциальная энергия имеет строгий минимум, а мгновенные скорости всех точек системы равны нулю тогда 5 — положение устойчивого равновесия системы. В п. 3° 1 мы уже доказали при тех же условиях, что 5 —положение равновесия системы, надо теперь только доказать устойчивость этого равновесия. [c.429] Но число точек материальной системы в общем случае бесконечно велико поэтому для того, чтобы иметь ММ е, где е О — наперед заданная малая величина, мы должны поставить дополнительное условие должно суш ествовать такое положительное число Ы, чтобы неравенства (15.19) выполнялись не только для всех 1=1, А, но и для всех точек системы с одним и тем же числом N. [c.432] В процессе доказательства теоремы мы ввели эти возмущения начальных условий — но не для каждой координаты и скорости в отдельности, как в (15.15), а, так сказать, суммарно для всей системы в целом. Действительно, в положении 5 мы имели V = О, а в положении 5, в которое мы мысленно вывели систему, мы имеем О = Р причем мы специально доказали в I части, что при условии V Уо возмущения начальных координат удовлетворяет условиям (15.17), т. е. малы точно так же в положении 5 мы имели Р = О, а в положении 5 мы мысленно сообщили системе кинетическую энергию Р Уо—V так как правая часть мала, то отсюда следует малость начальных обобщенных скоростей, т. е. малость их возмущений. [c.433] Этот простой пример очень поучителен он показывает, что достаточно пропустить одно слово в условии теоремы, — и она может стать неверной. В данном случае потенциальная энергия имеет минимум во всех точках наинизилей образующей, т. е. минимум в этом случае нестрогий ), поэтому из условия малости значений потенциальной энергии не вытекает малость значений всех обобщенных координат, т. е. неверен вывод (15.17), играющий основную роль в доказательстве теоремы Лагранжа — Дирихле. [c.434] Вернуться к основной статье