ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Понятие о приближенных методах из "Теоретическая механика Очерки об основных положениях " Примером может служить сила = — ]/ 6л в гл. XV мы рассмотрим общую теорему, из которой следует, что в этом случае л = О является единственным решением. [c.39] Всюду в дальнейшем будем считать заданные силы такими, чтобы удовлетворялись сформулированные условия существования и единственности решения задачи Коши. [c.39] До сих пор мы вели все рассуждения таким образом, как если бы мы нашли общее решение системы дифференциальных уравнений (2.3) однако хорошо известно, что даже для одного дифференциального уравнения первого порядка общее решение удается найти лишь для некоторых весьма специальных типов уравнений — в подавляющем же большинстве случаев мы не можем найти общего решения. [c.39] В этом случае мы решаем задачу приближенными методами— либо методами численного интегрирования, либо при помощи вычислений на электронных счетных машинах, причем мы сразу ищем частное решение при данных начальных условиях. Серьезным недостатком численных методов является то, что для других начальных условий надо наново искать частное решение общее же решение содержит в себе все частные решения при любых начальных условиях — если бы мы нашли общее решение, то могли бы по формулам (2.8) изучить, как зависит решение от каждой из величин Uy л о, Уоу о, Voxy Voy, Voz — m, как мы сказали, в подавляющем большинстве случаев этого не удается сделать. [c.39] Нахождение движения артиллерийского снаряда, спутника, поезда, самолета, ракеты и т. п. — все эти задачи решаются приближенными методами ), причем решение может быть найдено с любой степенью точности даже в самой точной из наук— астрономии — все формулы, по словам А. Н. Крылова, приближенные. Даже во втузовском курсе механики, например, в учебнике ( 88, 89, 91, 95, 113, 161) читатель встретится с приближенными методами при изучении движения артиллерийского снаряда, при нахождении времени в эллиптическом движении планеты или спутника, при рассмотрении вынужденных колебаний точки, при изучении колебаний физического маятника, при изучении влияния враш ения Земли на падение тяжелой точки в пустоте и т. п. [c.40] Скажем еш,е несколько слов о так называемом качественном исследовании движения. Очень часто нас не так интересует точный или приближенный закон движения точки, как некоторые обилие свойства этого движения — будет ли оно колебательным или нет если будет колебательным, то будут ли размахи возрастать с течением времени или убывать будет ли движение устойчивым или нет и т. п. Так называемая качественная теория дифференциальных уравнений, созданная А. М. Ляпуновым и А. Пуанкаре, позволяет не интегрируя дифференицальных уравнений движения указать его качественную характеристику ) — а именно это и важно в очень многих случаях. Например, если маятник отклонить из положения равновесия и сообщить ему некоторую начальную скорость, то, не интегрируя уравнения его движения, мы можем сказать, будет ли он колебаться или будет двигаться, совершая полные обороты и т. п. Знаменитые диаграммы И. А. Вышнеградского в теории автоматического регулирования позволяют исследовать качественный характер изменения угловой скорости регулятора ). [c.40] С некоторыми результатами качественного характера мы встретимся в дальнейших главах нашей книги. [c.40] Трудность заключается в том, что функциональная зависимость силы от времени задана не формулой, как это обычно делается, а графиком. Можно указать несколько методов решения этой задачи, часто встречаюш[ейся в технике. [c.41] Ряд Фурье дает единое аналитическое выражение нашей функции, справедливое на всем отрезке [О, Т]. [c.41] Вернуться к основной статье