ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Скалярная задача со спектральным параметром в уравнении из "Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции Спектральные свойства дифракции " Исходная задача эквивалентна задаче в V для уравнения (38.1) с условием (38.3). [c.371] Следуюш,ая теорема будет выведена из теоремы, относяш,ейся к обш,им эллиптическим задачам с параметром (она упомянута, но не сформулирована в п. 5 34), и позволит нам воспользоваться теоремой 3 из 35. [c.371] Здесь начало координат в К перенесено в произвольную точку на 5 в (38.66) — главный символ оператора точке (ср. доказательство теоремы 2 36). Эта задача при любом числе Н имеет единственное решение и(/), убывающее при / —оо, если ( Ц ) 0. Действительно, при этих (I, ц.) убывающее при / - + оо решение уравнения (38.6а) имеет общий вид и ) = Се У, где = 1 Р + (0) и Кеу 0. Подставляя это и(/) в (38.66), приходим к равенству [у + 11 I] С = Л, и здесь у + 11 О для нужных нам I, [г). [c.372] Утверждение теоремы 1 вьТтекает теперь из общих теорем, доказанных в [60], [29] для дифференциальных эллиптических задач с параметром и перенесенных в [24а], гл. V, на задачи с псевдодифференциальными граничными условиями. [c.372] Следующая теорема дополняет теорему 1 и доказывается аналогично теореме 2 из 36. [c.373] Следствие. Пусть це2(/.). Тогда ряд Фурье решения задачи (38.1), (38.3) по корневым функциям оператора I суммируется к и х) методом Абеля порядка а п/2 в Н2 У ) и, значит, в ( ) при р 2 — (/г/2). [c.374] В частности, это утверждение относится к функции в (38.8), которая равна и х) при ц = 0. [c.374] Второе отличие состоит в том, что вместо теорем 1 и 2 35 мы смогли воспользоваться только теоремой 3 из 35, хотя, скажем, при 1т = 0 оператор 1т/С переводит функции из в функции из С (К+). Здесь причина состоит в том, что не удается выделить главную самосопряженную часть оператора I из-за несамо-сопряженности граничных условий (38.3). Обсудим это обстоятельство. [c.376] Оператор К, сопряженный к К относительно (38.13), совпадает с К. Обозначим через М область значений оператора К- Тогда К имеет область значений М. Примем для простоты, что 0 1, и найдем их пересечение. [c.376] Предложение 3. 52(1 состоит из функций и (х) е с нулевыми данными Коши ы+, ди+1дМ на 8. [c.376] Отсюда нетрудно вывести, что и х) 0 в V (см. стр. 375), так что и х) имеет нулевые данные Коши на S. [c.377] Таким образом, К н К имеют существенно разные области значений, а L и — соответственно разные области определения. Иначе обстояло дело в 36, 37, где операторы А и Л, и , н Т имели одинаковую область значений, обычно совпадающую с Я (5) при каком-нибудь s. [c.377] Теорема А. При п= система нормированных корневых функций оператора L является базисом Бари в Яо(У+). Если ц 2(1), то ряд Фурье решения и х) задачи (38.16), (38.17) по этой системе сходится к и х) в ЯгСУ ) и, следовательно, в при а 3/2. [c.378] Можно показать, что их нет при сг = 1 также в случае, когда — круг (п = 2) или шар (п = 3). Собственные функции вычисляются методом разделения переменных, и произвольные функции из Но(У ) разлагаются по собственным функциям соответственно в двукратные или трехкратные ряды (ср. с п. 3 4). Недостаток места не позволяет остановиться на этом некоторые дополнительные подробности приведены в [25]. [c.378] Теорема 3. Если р2 р1 2л/га, ае(п/2,л(Р2 —р1) ), то 1еА(а,Яо(У+)). [c.379] Если а(х) о в Уо и условие на 5о имеет вид (36.27а) с 1та(л ) = 0 или вид (36.276), то — самосопряженный оператор в Яо(Уо) относительно скалярного произведения и, v)y . Это хорошо известно. [c.380] Будем предполагать, что это уравнение однозначно разрешимо, т. е. что —1 не является собственным значением оператора Го. Отсюда следует (см. [6], гл. V, 9), что оператор I + Т1 + имеет обратный для всех к, исключая некоторое дискретное множество значений. [c.380] Положительности собственных значений оператора ] иногда можно добиться за счет выбора h. Этого, однако, нельзя сделать, если есть такой вектор f, что 7 2f = 0 и ((/ + 7 .)f, fXO. [c.381] Подпространство г(О) может быть бесконечномерным. [c.382] Предположим дополнительно, что оператор Т ]-не-отрицателен [7 f, П О при всех (или /-неположителен). Это равносильно предположению, что Гг неотрицателен (Т гГ, 0 0. [c.383] Вернуться к основной статье