ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Признаки базисности из "Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции Спектральные свойства дифракции " Здесь каждое следующее свойство оператора является усилением предыдущего. [c.335] Кроме того, существует такое j О, что все собственные значения оператора L леоюат в объединении кругов (х x-v ,v v . [c.336] Эта теорема в известной мере отражает целое направление в теории несамосопряженных операторов. Оно начато в работах М. В. Келдыша [44], [45], где для более общих, чем здесь, операторов в Ь доказаны дискретность спектра, полнота и неравенство arg[ij 8(/ /о(е)) со сколь угодно малым е 0. Для s = 0 при менее жестком условии, чем 2), утверждение (35.1в) принадлежит А. С. Маркусу [52] (см. также [37]), утверждение (35.16) с у О — В. Э. Кацнельсону [42, 43] и утверждение (35.1а)—В. Э. Кацнельсону и В. И. Мацаеву (см. 43]). В [43] содержится также последнее утверждение теоремы 1 для у О. В высказанной здесь форме теорема 1 легко выводится из предложений 1—3 в [28]. [c.336] В дальнейшем, в 36, 37 и 40, будут применимы утверждение (в) при вещественном k и утверждения (б) и (в) при комплексном к. (Утверждение (а) приведено для полноты картины.) Однако в предположениях теоремы 1 еще слабо учтена специфика интересующих нас операторов. Во-первых, мы располагаем асимптотической формулой (34.26) для собственных значений эллиптического ПДО. Во-вторых, у может оказаться намного меньшим единицы (если k вещественно, то inf Y = — 00, т. е. — бесконечно сглаживающий оператор). В-третьих, разлагать в ряды нужно главным образом очень гладкие функции. В следующем пункте будут приведены усиления теоремы 1 при дополнительных предположениях об операторе и разлагаемых в ряды векторах. Попутно будет проверено последнее утверждение теоремы 1. [c.336] Устремляя 0 к 1, получаем, что последнее утверждение теоремы 1 справедливо с. С = Сг. [c.338] Это ортопроектор, и для любого f ряд X сходится в (к [, если каждое V/ охвачено одним из контуров Г ). [c.339] Поэтому ряд Е сходится, если сходится ряд Е(-Р/ —Q/)f Сходиться ряд Xможет только к f из-за полноты системы [у (которая имеет место при любом V 1 в силу теоремы М. В. Келдыша [44], [45]). [c.339] Г) Vj = с/е + О (/ ) (/ - оо), где О О, р О, О б р, принимая за образец формулу (34.26) для собственных значений эллиптического ПДО (см. также обзор [33]). [c.339] Пусть а (/ = О, 1,. ..) —возрастающая последовательность вещественных чисел, оо = О и а - оо при /- оо. Назовем ее допустимой, если с =7 1 ], Vy при всех / 1 и всех к, /. [c.339] Проектор Р1 будем считать отвечающим всем с а, 1 К Ог + 1 (оо = О 1 К а для I = 0), проектор Ql — всем v с а/ v а/ + 1. [c.339] Доказательство теоремы 2. Будем сначала считать, что s = 0. [c.340] Через обозначим объединение трапеций Т ,. .., Т и через Гт,п — его границу. [c.341] Нам нужно предположить, что Ое2(Ь). Этим общность не ограничивается, так как всегда можно заменить Ь, Ьо на Ь — Ца1, о — Цо/ с цо 0. Оператор имеет порядок — 1. [c.341] С Vj afn, что эта оценка, а значит, и (35.15), неулцчшаемы. Проведенные рассуждения без труда переносятся на случай любого s (с постоянными, зависящими от s). Доказательство закончено. [c.343] Доказательство, использующее теорему 1.2 из [43], гл. III, будет опубликовано в другом месте. Некоторые обобщения теорем 2 и 2 сформулированы в [28а]. [c.343] Это асимптотика без оценки остаточного члена. Отметим, что оценку остаточного члена в формуле для ц/ при условии Г) и любом Y [0, 1) недавно получили А. С. Маркус и В. И. Мацаев. [c.343] ПДО порядков 1 и y = 2-1-Yi 1, и мы приходим к предыдущему случаю, так как — самосопряженный оператор с положительным главным символом. Таким образом, результаты из пп. 1, 2 снова применимы. Отметим, что 1—Y = —т. е. разница порядков у операторов и s4- такая же, как у и В задачах 36, 37 Yi = —3 или inf Yi = —оо. [c.344] пз наших результатов для пространств Я ( ) нетрудно вывести аналогичные результаты для пространств при помощи теоремы вложения ( 32, 10° и 11°). Мы получаем, в частности, что если или ) — оператор порядка оо, то для любой функции /еС°°( ) ее ряд Фурье со скобками по корневым функциям оператора Ф или Щ сходится равномерно, причем максимум модуля скобки убывает быстрее любой отрицательной степени ее модуля, и такой же сходимость остается после локального почленного дифференцирования ряда любое число раз. [c.345] Лучи fi argix==9 с такой оценкой называются лучами минимального роста резольвенты [60] ). Условия 1 ) и 2 ) заменяют условия 1) и 2) из п. 1 в случае, когда из оператора L не удается выделить главную самосопряженную часть. Из 2) следует 2 ) со сколь угодно малым 0 0. [c.345] Теорема 3. Пусть выполнены условия 1 ) и 2 ), и пусть а S ( , я0 /2). Тогда L е А (а, ). [c.345] Вернуться к основной статье