ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Собственное значение в граничных условиях из "Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции Спектральные свойства дифракции " Эта глава посвящена вариационным методам решения однородных задач, возникающих в обобщенном методе собственных колебаний. Мы будем рассматривать однородные задачи в дифференциальной постановке и выпишем для них функционалы, стационарные на решениях этих задач. Во внутренних задачах стационарные функционалы того или другого варианта обобщенного метода получаются просто, если известен функционал (удовлетворяющий некоторым дополнительным требованиям) для соответствующей однородной задачи в /г-методе. Результат легко обобщается на внешние задачи. Стационарность функционалов на собственных функциях (и только на них) доказана. [c.146] Применение вариационного аппарата к решению однородных интегральных уравнений, возникающих в обобщенном методе, здесь рассматриваться не. будет. Этот аппарат общеизвестен он приводит к функционалам, содержащим двукратные интегралы по рассматриваемой области или по ее границе. [c.146] В этом параграфе будут получены стационарные функционалы для собственных значений однородных задач, поставленных в первой главе. Мы рассмотрим задачи, возникающие при исследовании закрытых резонаторов, частично заполненных однородным диэлектриком, как с идеальными стенками, так и с потерями в стенках (внутренние задачи), а также при наличии излучения (внешние задачи). Будут рассмотрены также системы с неоднородным диэлектрическим заполнением. [c.147] Для того чтобы получить стационарный функциоиал для собственных значений сформулированной задачи, мы будем исходить из функционала для аналогичной задачи в к-мегоде и произведем над этим функционалом некоторые преобразования. [c.148] Для закрытых резонаторов можно говорить об экстремальных свойствах функционала, но мы. ограничимся лишь стационарностью, поскольку в дальнейшем будут рассматриваться комплексные функционалы, для которых экстремальность не имеет смысла. [c.148] Задачу о стационарности (15.4) можно заменить задачей о стационарности числителя при равенстве знаменателя единице. К получающейся задаче об условной стационарности можно применить метод множителей Лагранжа, состоящий в том, что строится новый функционал, равный сумме числителя (15.4) и знаменателя, умноженного на некоторый множитель. Новый функционал может достигать стационарности лишь при некоторых значениях этого множителя, и эти значения совпадают со значениями функционала (15.4) в стационарных точках. Так как стационарные значения (15.4) равны к п, то в новом функционале мы сразу обозначим множитель Лагранжа через к . [c.149] Он стационарен при к = к , и стационарность достигается на тех же собственных функциях и . В стационарных точках (ы) принимает нулевые значения. [c.149] Формально (15.11) можно получить сразу из (15.4), заменяя там К и) на кР, разрешая относительно е и заменяя е на Е(м). Возможность такой формальной процедуры объясняется по существу тем, что на допустимые функции как для (15.4), так и для (15.11) не накладывались никакие ограничиваюш,ие условия, содержаш,ие параметры к или е. Это соображение будет использовано и далее в этой главе при построении стационарных функционалов для других вариантов обобщенного метода. [c.150] Из стационарности функционала на собственных функциях однородной задачи, вообще говоря, не следует, что любая функция, на которой этот функционал стационарен, будет собственной функцией задачи стационарность функционала является лишь необходимым условием. Можно, однако, показать, что полученные выше функционалы обладают и свойством достаточности, или, что то же самое, что дифференциальное уравнение однородной задачи является для этих функционалов уравнением Эйлера. Это доказательство мы приведем в 17 для более общего функционала, из которого (15.9) (и другие функционалы такого типа в этой главе) получается как частный случай. Там же будут выписаны слагаемые, которые нужно добавить к функционалу, чтобы сделать те или другие граничные условия естественными. [c.151] Собственные функции рассматриваемой задачи должны быть комплексными из-за условия (15.12). Это же относится и к допустимым функциям. Получающиеся функционалы комплексны, как комплексны и искомые собственные значения задачи (см. 4). [c.152] Функционал (15.4) теряет смысл для внешних задач, поскольку его стационарность могли бы обеспечивать лишь функции, экспоненциально возрастающие на бесконечности (собственные функции однородной задачи в /г-методе), а для таких функций входящие в (15.4) интегралы расходятся. Нельзя в -методе пользоваться и функционалом (15.9). Однако в е-методе как функционалом (15.9), так и получающимся из него функционалом (15,11). можно пользоваться также и для внешних задач — с уточнением, которое мы сейчас сформулируем. [c.152] Это легко проверить, рассматривая (15.16) как очевидное обобш,ение функционала (15,4) или применяя прием, описанный в конце параграфа. [c.154] Стационарность (15.18) на собственных функциях нашей однородной задачи, как задачи на собственные значения Оп, легко проверить непосредственно. Это, однако, не требуется, так как применение к (15.18) метода множителей Лагранжа приводит к (15.17), если множитель Лагранжа обозначить буквой о. [c.155] Заметим, что если 8 (г) является кусочно-непрерыв-ной функцией, а собственные функции должны быть непрерывны вместе со своими нормальными производными на границах разрыва 8, то все результаты настояш,его пункта сохранятся. Допустимые функции по-прежнему должны быть лишь непрерывны во всем рассматриваемом объеме, включая границы разрыва е(г). [c.155] При наличии же излучения (внешняя задача) функционал (15.16) теряет смысл, но для задачи (15.15) с собственным значением а функционалы (15.17) и (15.18) сохраняются в том же смысле, что и в п. 3. Собственные функцин этой задачи должны удовлетворять условию излучения, и это условие должно быть наложено п на допустимые функции. [c.155] Оба функционала стационарны на собственных функциях рассматриваемой задачи стационарность (15.20) имеет место лишь при к, равном собственному значению kn. В стационарных точках (15.20) принимает нулевые значения, а (15.2 ) — значения, равные соответствуюш,им kn. Допустимые функции должны удовлетворять всем граничным условиям (для внешних задач — и условию излучения). Может нарушаться лишь условие непрерывности нормальных производных на границах разрыва е(г). [c.156] Функционал для -метода в виде (15.4), из которого мы до сих пор исходили, оказывается теперь непригодным. Он не стационарен на собственных функциях задачи с условием (15.22) даже при дополнительном требовании, чтобы этому условию удовлетворяли допустимые функции. По причинам, которые будут объяснены в конце 16, никакие дополнительные поверхностные интегралы не обеспечивают стационарности (15.4) на собственных функциях задачи с условием (15.22). [c.157] В этом параграфе будут рассмотрены однородные задачи, содержащие собственное значение в граничном условии. Подобная ситуация встречалась уже в конце предыдущего параграфа. Однако там собственное значение входило как в граничное условие, так и в уравнение. Это уравнение вместе с граничным условием получалось предельным переходом из более общего уравнения, когда спектральный параметр не содержался в граничном условии. Последнее обстоятельство было решающим при построении функционалов — при этом использовался тот же предельный переход. По существу все это было необходимо для получения такого исходного функционала к-метода, у которого класс допустимых функций не был бы ограничен условиями, содержащими параметр — собственное значение обобщенного метода. Другими словами, граничное условие с параметром должно быть естественным для функционала / -метода. Только в этом случае возможны формальные преобразования этого функционала. [c.159] Здесь мы будем добиваться естественности граничных условий с параметром добавлением к функционалу некоторых поверхностных интегралов, и на поиск этих интегралов будет обращено основное внимание в этом параграфе. После того, как соответствующая форма функционала -метода будет найдена, функционалы для обобщенного метода будут получаться формальной процедурой, подробно описанной в предыдущем параграфе. Обобщение на внешние задачи ничем не отличается от описанного в п. 3 того же параграфа. [c.159] Такую же запись имеет соответствующая однородная задача в -методе при этом собственным значением считается а ау — заданное число. Найдем такой вид функционала для собственных значений кп задачи -метода, чтобы условие (16.2) было для этого функционала естественным. Нам будет удобнее здесь работать не с функционалом в виде дроби (типа (15.4)), а сразу с функционалом в виде строчки, получающимся после применения метода множителей Лагранжа. [c.160] Вернуться к основной статье