ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Методы решения интегрального уравнения в теории резонаторов из "Лазерные резонаторы " Интегральные уравнения, встречающиеся в теории резонаторов, относятся к классу линейных однородных уравнений второго рода. Известны многочисленные методы приближенного решения таких уравнений [48]. В этом параграфе коротко рассмотрим те из них, которые наиболее часто применяются при расчетах резонаторов. Причем не будем ограничиваться лишь формальным изложением сути метода, но там, где это будет уместно, обсудим также их физический смысл и наиболее интересные результаты, полученные с их помощью. [c.155] Такое начальное приближение обеспечивало отсутствие примеси основной моды (ао = 0). [c.157] Решение методом простой итерации нелинейного уравнения (2.49) с учетом (2.81), для случая осесимметричных полей (ир1 г,(р) = иро(г)) приводит к следуюгцим результатам. [c.162] Во-первых, поперечное распределение стационарных структур в резонаторе с усилением с очень большой точностью совпадает с поперечными модами пустого резонатора. Этот результат позволяет использовать решения, полученные для случая пустого резонатора, при анализе лазерного резонатора с активной средой. Заметим, что этот факт является проявлением обгцей закономерности, состоягцей в слабом искажении поперечных мод амплитудными пеодпородностя-ми, в то время, как даже сравнительно слабые, фазовые аберрации могут приводить к весьма сильным искажениям моды [10. [c.162] Естественно, все вышесказанное относится к анализу лишь установившихся модовых структур. Данная модель резонатора не описывает динамики формирования как временной, так и прострапствепной структуры поля, поскольку формула (2.81) справедлива лишь в стационарном режиме и не описывает динамики изменения коэффициента усиления в процессе развития импульса генерации. Для описания пространственно-временной эволюции поля в резонаторе необходимо более тщательно описывать процессы, происходящие в активной среде 53, 54]. Пе будем более останавливаться на этих вопросах, поскольку они далеко уходят за рамки темы данного параграфа. [c.164] Оценку точности вычислений по методу моментов проводят путем сравиепия полученных приближенных значений ф и (2.80). [c.165] Часто бывает, что при правильном выборе системы координатных функций, достаточно взять п 2-3 [55]. При этом мы получаем фактически аналитический метод приближенного решения интегрального уравнения, позволяющий легко исследовать поведение модовой структуры от того или иного параметра. [c.165] В качестве функций невозмущепного оператора чаще всего используют либо гауссовы пучки моды резонатора с гауссовыми элементами, либо собственные функции конфокального резонатора. Последние используются особенно часто, так как позволяют построить приближенное решение, учитывающее в нулевом порядке дифракционные эффекты [40. [c.166] Формула (2.88) переходит в точное выражение в случае, если функция К(х2,Х1)щ(х1) — полином степени не выгие 2Щ — 1. [c.167] Рассмотренные методы, естественно, не исчерпывают всего многообразия способов решения интегральных уравнений, встречаюш ихся в теории резонаторов. В частности, при решении уравнений в декартовых координатах методом итераций, часто удобно преобразовать интегральный оператор к виду, позволяющему использовать алгоритм быстрого преобразования Фурье [59]. Это приводит к существенной экономии времени вычисления на ЭВМ отдельной итерации. При решении задачи в цилиндрических координатах для этой цели можно использовать алгоритм преобразования Ханкеля [60]. [c.168] Поиск собственных чисел матриц большого размера, возникающих при решении интегрального уравнения методом моментов (2.84) или методом квадратур (2.90), возможно использование либо алгоритмов диагонализации матриц [б1], либо метода Пропи [62]. Последний позволяет находить несколько первых, наибольших по абсолютной величине, собственных значений. [c.168] По-видимому, стоит отметить также метод, который, в определенной степени, объединяет метод итераций и метод Прони и в котором проводится фурье-апализ преобразования (2.79) [63. [c.168] Приступая к расчету резонатора, в каждом конкретном случае следует внимательно изучить особенности задачи и с их учетом выбрать численный метод решения. Часто удачный выбор метода позволяет построить решение с минимальным использованием ЭВМ. [c.168] Вернуться к основной статье