ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Конфокальный резонатор из "Лазерные резонаторы " Моды такого резонатора описываются известными специальными функциями, которые, хотя и не представимы в аналитическом виде, но могут быть представлены в виде достаточно быстро сходягцихся рядов и для которых составлены подробные таблицы. [c.141] Знание модовой структуры конфокального резонатора позволяет, с одной стороны, попять физические особенности поведения мод резонатора с ограничивающей апертурой, а с другой, дает возможность провести тестирование программ численного решения уравнений в случае резонатора общего вида, что очень важно с практической точки зрения. Кроме того, существует целый ряд приближенных методов расчета резонаторов общего вида, базирующихся на знании модовой структуры конфокального резонатора [40]. Эти обстоятельства определяют исключительно важную роль изучения конфокального резонатора в теории лазерных резонаторов. Поэтому уделим данному типу резонатора отдельный параграф и проведем анализ его модовой структуры достаточно подробно. При этом, тем не менее, постараемся избежать громоздких математических выкладок и доказательств, отсылая интересующихся читателей к соответствующим работам по математике [41, 42. [c.141] Условие (2.52) выполняется при К = Ь, т.е. в том случае, если каждое сферическое зеркало резонатора расположено в центре кривизны другого. Это простейший пример конфокального резонатора, который уже приводился в первой главе. Решение интегрального уравнения (2.49) описывает распределение амплитуды моды на концевых зеркалах резонатора. [c.141] Ранее отмечалось, что в зависимости от формы зеркал целесообразно применять либо декартову, либо цилиндрическую систему координат. Ограничимся подробным анализом случая, наиболее часто встречающегося на практике, когда апертура, ограничивающая излучение в резонаторе, имеет круглую форму и удобнее пользоваться цилиндрической системой координат. Случай, когда апертура имеет прямоугольную форму, коротко обсудим в конце параграфа. [c.142] Кроме того, система функций фр1 обладает свойством полноты в классе функций с интегрируемым квадратом модуля в интервале (0,1). Это означает, что всякая такая функция может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям уравнения (2.55). Заметим, что все сформулированные свойства справедливы и для функций Пр1, так как функции соз1(р и Б1п1(р ортогональны на интервале (О, 2тг) и образуют полную систему функций. [c.143] При значении параметра 1 = 1/2 уравнение (2.61) переходит в известное уравпение [41], решением которого являются специальные функции, называемые вытянутыми волновыми сфероидальными функциями нулевого порядка. В связи с этим, функции, являющиеся ограниченным решением уравнения (2.61), при произвольном /, принято называть обобщенными вытянутыми сфероидальными функциями. Они весьма подробно исследованы [42-46 и др.. [c.143] С целью облегчения тестирования программ численного регпения резонаторных задач, в табл. 2.1 приведены значения некоторых функций Яр1. [c.145] Чтобы представить характер поведения регпения в целом, очень важно иметь приближенное аналитическое выражение для функций фр1. Построение таких выражений проводят с помогцью асимптотических рядов, которые переходят в точное решение при стремлении того или иного параметра к некоторому пределу. Асимптотические представления функций фр1 хорошо разработаны, как при больших, так и малых значениях параметра с, аргумента t, индексов pul. Особо важное значение имеют асимптотические представления функции фр1 при фиксированных индексах р и /, и больших значениях параметра с. Т. е. такие аналитические выражения, которые стремятся к точному значению решения уравнения (2.61) при с оо. Важность данной области обусловлена тем, что практическую ценность имеют резонаторы с малыми дифракционными потерями и, следовательно, с достаточно большой апертурой зеркал и большим значением параметра с. [c.145] Перейдем теперь к обсуждению характера поведения собственных значений уравнения (2.55), определяющих потери мод резонатора и спектр резонансных частот. [c.146] Для удобства тестирования программ численного анализа резонатора в табл. 2.2 приведены значения собственных чисел уравнения (2.53) 7р/ для ряда значений с. [c.148] В области api 0,1 она обеспечивает удовлетворительную точность расчетов для мод не слишком высокого порядка (рис. 2.11). [c.151] Па этом закончим исследование модовой структуры конфокального резонатора и перейдем к рассмотрению поперечного распределения выходного излучения лазера с конфокальным резонатором. Оказывается, что в случае конфокального резонатора эта задача может быть также нроанализирована аналитически достаточно полно [47]. [c.151] Будем исходить, для определепиости, из схемы плоско-сферического конфокального резонатора (рис. 2.7). Предположим, что плоское зеркало является полупрозрачным и служит для вывода излучения из резонатора. Исследуем дальнопольную картину излучения. [c.151] Это соотношение позволяет пайти расходимость излучения лазера с конфокальным резонатором, не детализируя модовый состав излучения, поскольку она справедлива, как для одномодового излучения, так и для излучения, состоящего из смеси поперечных мод, если предположить, что расходимость многомодового пучка определяется расходимостью моды максимального порядка. [c.153] Предположим, что данный резонатор должен обеспечивать расходимость излучения на уровне 5 мрад. Тогда, пренебрегая возможными аберрациями линзы Р, из формулы (2.77) следует, что оптическая длина резонатора В должна быть не менее 0,5 м. При этом число Френеля iV 12, с 75. Из формулы следует, что при таком зпачепии параметра с реализуется многомодовый режим генерации. Причем в генерации будут присутствовать моды, порядок которых не превосходит величины 2р + 1 25. [c.155] На этом закончим рассмотрение свойств конфокального резонатора. Отметим лишь, что в процессе анализа конфокального резонатора были весьма бегло продемонстрированы некоторые математические приемы, которые часто используются и при анализе резонаторов обгцего вида. Имеется в виду сведение интегрального уравнения к дифференциальному, составление и решение соответствуюш его уравнения для собственного значения резонатора (2.67). [c.155] Вернуться к основной статье