ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Использование функции напряжений из "Основы теории упругости и пластичности " Таким образом, задавая всевозможные функции ф, можно с помощью (4.18) получать соответствующие равновесные поля напряжений в теле, т. е. поля, удовлетворяющие уравнениям равновесия. Это было подмечено английским математиком и астрономом Джорджем Биддэлл Эйри в 1862 г. (для случая Z = У = 0). Поэтому функцию ф называют также функцией Эйри. [c.77] Уравнение (4.19) или, что то же, (4.20) называется бигармоническим уравнением плоской задачи. Оно представляет собой условие совместности деформаций, выраженное через функцию напряжений ф. [c.78] В результате решение плоской задачи в напряжениях свелось к необходимости решать единственное уравнение (4.19). После определения функции ф переход к самим напряжениям выполняется по формулам (4.18). [c.78] Сформулируем теперь условия на границе пластины, выразив их через функцию напряжений ф х, у). Считаем заданными в каждой точке границы интенсивность поверхностной нагрузки по нормали и по касательной р, (рис. 4.4, а), а X = Y = 0. [c.78] Равенства (4.25) и выражают упомянутую рамную аналогию. [c.80] Таким образом, рамная аналогия при заданной нагрузке на контуре пластины дает информацию об ординатах искомой поверхности. [c.81] Ординаты во внутренней области пластины (показанные на рис. 4.5, г пунктиром) определяются путем решения бигармонического уравнения (4.20). Указанные граничные условия определяют единственную поверхность ф (х, у), которая по формулам (4.21) дает искомые напряжения в пластине. [c.81] Заметим, что если на контуре пластины или его части задана ие нагрузка, а фиксированы перемещения и и у, то формулировка граничных условий с помощью функции напряжений ф также значительно усложняется. [c.81] Отдельные задачи теории упругости можно решить, задаваясь некоторым аналитическим выражениел для функции ф, содержащим неизвестные коэффициенты (или даже функции). Затем составляются выражения для напряжений и подбираются неизвестные коэффициенты (или функции) так, чтобы удовлетворялись условия на поверхности тела. [c.82] На рис. 4.10, б показаны эпюры этих напряжений в сечении У = onst. Интересно сопоставить их с результатами, которые могли бы быть получены по обычным формулам сопротивления материалов. [c.84] Они точно совпадают с результатом решения теории упругости (д). [c.85] В заключение рассмотрим ту же плотину при действии собственного веса, принимая вес единицы объема материала у (рис. 4.11). [c.85] Из условий на горизонтальных гранях пластины найдем при г/= Л/2 х=0- С -Ч кЮ,=- 0-, при г/ = /i/2 Оу — —q 2 i - - Ji — при у = —Ш2 ау= 0- 2 i — Ji -f- = 0. [c.87] Эпюры этих напряжений изображены на рис. 4.12. [c.87] На рис. 4.15, а показана прямоугольная пластина, прикрепленная на торцах к идеальным диафрагмам. В силу отмеченных свойств идеальной диафрагмы она может воспринимать лишь касательные усилия в виде потока напряжений т, а усилия, перпендикулярные диафрагме, реализуемые напряжениями должны быть равны нулю (рис. 4.15, б). Кроме того, так как диафрагма жесткая в своей плоскости, то перемещения у = О и на торцах могут иметь место только перемещения и. [c.89] Заметим, что так как при х = О, а деформация е,у = dvidy = О, то из закона Гука = (ау — иа )1Е и условия r . = О следует равенство ст,, = 0. Поэтому в точках примыкания к идеальным диафрагмам будет иметь место напряженное состояние чистого сдвига. [c.89] Легко убедиться d tom, что найденные для m-го члена ряда ф напряжения (4.39) и перемещения (4.45) точно удовлетворяют описанным ранее условиям прикрепления торцов пластины (4.30) к идеальным диафрагмам при х = О, а. Отсюда следует, что этим условиям удовлетворяют и полные напряжения и перемещения в пластине. [c.93] Определение произвольных постоянных. Для того чтобы рассматриваемая задача определения напряжений или перемещений в пластине была окончательно решена, надо для каждого номера т ряда (4.31) определить постоянные j. .. С , которые определяются из условий на продольных кромках у = Ь 2. Если на этих кромках заданы нагрузки, то для формулировки условий используются выражения для напряжений (4.42), (4.43), если же для кромок заданы принудительные перемещения, то применяются выражения для перемещений (4.48), (4.49). При этом как в том, так и в другом случае заданные нагрузки или перемещения должны быть представлены в виде соответствующего тригонометрического ряда. Тогда формулировка условия выполняется в отношении произвольного т-го члена этого ряда. [c.93] Вернуться к основной статье