ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные теоремы из "Курс теоретической механики Издание 2 " Наиболее полное решение задачи об устойчивости движения дал А. М. Ляпунов в своей докторской диссертации в 1892 г. В настоящее время задачи об устойчивости решаются во всех областях механики. [c.571] Это частное решение назовем невозмущенным движением. Все другие решения системы будем называть возмущенными движениями. [c.571] В противном случае невозмущенное движение будем называть неустойчивым. [c.572] Определению устойчивости движения можно теперь дать иную формулировку. [c.572] Если уравнения возмущенного движения не включают явно времени 1, то невозмущенное движение будем называть установившимся, в противном случае — неустановившимся. [c.573] Прямой метод Ляпунова заключается в отыскании некоторых функций вещественных переменных t, хи Хч,и в изучении свойств их производных, взятых в силу дифференциальных уравнений возмущенного движения. В основе метода лежит изложенный ранее способ, использованный Леженом Дирихле при доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия. [c.573] Определения. 1. Функция V 1, Ху, Х2.Х ), которая в области ( ) может принимать значения только одного знака, называется знакопостоянной функцией. [c.573] Доказательство. Покажем, что существование функции V, удовлетворяющей условим теоремы, дает возможность по заданным числам А найти соответствующие числа А,, удовлетворяющие определению устойчивости. [c.574] Обозначим производную от функции V через V, т. е. [c.575] Этим доказана теорема Ляпунова об устойчивости движения. [c.575] Пример 137. Методом Ляпунова докажем теорему Лагранжа об устой чивости равновесия системы материальных точек. [c.576] Теорема Ляпунова дает только достаточные условия устойчивости движения. Самым трудным местом в использовании теоремы является вопрос о построении функции Ляпунова. [c.576] Покажем, что не существует положительного числа а, которое было бы меньше всех значений, получаемых функцией V при/- оо. [c.577] Следовательно, при всяких начальных возмущениях х о в области (А,) значения переменных Xs с беспредельным возрастанием г стремятся к нулю. [c.578] Ляпуновым были предложены теоремы о неустойчивости невозмущенного движения. Эти теоремы были обобщены Н. Г. Четае-вым, предложившим теорему, более пригодную для решения технических задач. [c.578] Чтобы установить неустойчивость невозмущенного движения, достаточно найти одну траекторию возмущенного движения, не удовлетворяющую условиям устойчивости. [c.578] Теорема Четаева о неустойчивости движения. Теорема. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что можно найти функцию V, ограниченную в области У 0, существующей в сколь угодно малой окрестности невозмущенного движения, производная которой dvidt, взятая в силу уравнений возмущенного движения, была бы определенно положительной в области 1/ 0, то невозмущенное движение неустойчиво. [c.579] Этим и обнаруживается неустойчивость. [c.580] Пример 138. Рассмотрим устойчивость постоянных вращений тяжелого твердого тела, закрепленного в одной неподвижной точке в случае Эйлера. [c.580] Вернуться к основной статье