ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Малые колебания системы с одной степенью свободы из "Курс теоретической механики Издание 2 " Систему материальных точек с одной степенью свобод совершающую колебательные движения около положения равнов сия, называют осциллятором. Простейшим движением такс системы является гармоническое колебание. Систем совершающая гармонические колебания, называется гармон ческим осциллятором. В частном случае гармонически осциллятором является материальная точка, совершающая прям линейное движение под действием силы, пропорциональной откл нению точки от положения равновесия, направленной в каждь момент в сторону положения равновесия. Такая сила всегда стр мится вернуть точку в положение равновесия. Физическая природ силы может быть самой разнообразной, но проще всего ее пре, ставить как упругую силу, подчиняющуюся закону Гука. [c.540] Период определяет время, в течение которого точка совершает одно полное колебание. Величина к называется циклической, или круговой, частотой колебаний. Частота колебаний является основной характеристикой колебаний, не зависящей от начальных условий движения. Она полностью определяется свойствами механической системы. [c.541] Состояние движения гармонического осциллятора в каждый момент времени определяется заданием значений его координаты г и скорости x ==v. Для изображения этого состояния движения можно воспользоваться представлением движения на фазовой плоскости переменных х и и, рассматриваемых как декартовы координаты. Тогда каждая точка фазовой плоскости будет определять состояние движения осциллятора. Такую точку будем называть изображающей. [c.541] При Ьо 0 система будет совершать колебательные движения в окрестности положения равновесия. [c.541] При изменении начальных условий в общем случае будет меняться амплитуда колебаний. В результате получим семейство подобных эллипсов (рис. 259), представляющее фазовый портрет гармонических колебаний. [c.542] Затухающие колебания. До сих пор предполагалось, что всякое сопротивление движению системы со стороны среды отсутст вует. Сопротивление воздуха, трение п другие подобные силы вс внимание не принимались. Действие же сил сопротивления проявляется прежде всего в том, что процесс движения перестает быть чисто механическим. Механическая энергия системы переходит е другие виды энергии, как говорят физики, диссипируется. Имеется определенная категория случаев, когда движение в среде можнс описать с помощью уравнений механики введением в последние не которых дополнительных членов. При этом считается, что на точки системы действуют силы, зависящие только от скорости. Обобщенную силу в этом случае можно представить в виде отрицательной функцни (я ). Если скорость точки достаточно мала, то можно считать, что сила сопротивления среды пропорциональна скорости, т. е. [c.542] Вынужденные колебания. Резонанс. Если на материальную точку кроме упругой силы действует некоторая изменяющаяся со временем сила F(t) (возмущающая сила), то колебания называются вынужденными. [c.544] Отсюда видно, что амплитуда вынужденных колебаний в этом лучае неограниченно растет со временем. Такое явление назы-)ается резонансом. Резонанс в колебательных системах ложет стать очень опасным явлением, влекущим за собой разру-пение системы вследствие чрезмерного возрастания амплитуды. [c.545] Если частоты собственных колебаний и возмущающей силы меют очень близкие значения, так что разность k—р по модулю )чень мала по сравнению с k, то сложные колебания называют Зиениями. Биения имеют вид то возрастающих, то ослабляю-цихся колебаний. [c.545] Все последние рассуждения теряют смысл при отсутствии сопротивления среды. [c.547] Здесь а и 7 — вообще некоторые периодические функции. [c.548] Если предположить, что в начальный момент до = я о = 0, то из войств определителя Вронского будет следовать, что С1 = С2==0. Гаким образом, в отличие от обычного резонанса в рассматриваемом случае система будет оставаться в покое. [c.549] Если система в начальный момент не находится в покое, то характер решения будет зависеть от свойств чисел и кг. Нетрудно видеть, что если действительные части чисел и кг отрица-гельны, то амплитуда д будет убывать со временем и система будет совершать затухающие колебания. [c.549] Отметим еще, что если обе величины чисто мнимые, то решение будет периодическим или почти периодическим, т. е. для сколь угодно малого е найдется такое т(е), что ( +т(е)) — — (0 е. Если же НеХ1 0, то амплитуда д будет неограниченно возрастать. [c.549] В общем случае здесь всегда существует положение равновесия, но оно может быть как устойчивым, так и неустойчивым. В последнем случае система, выведенная из положения равнове- ия, автоматически себя раскачивает. Это свойство придает всему явлению характер резонанса. Такой резонанс называется параметрическим, так как он вызван искусственным изменением со временем некоторого параметра. Возрастание амплитуды колебаний происходит лишь тогда, когда правильно подобрана частота изменения параметра. [c.549] Существенными для параметрического резонанса являются два свойства 1) находящаяся в равновесии система не начинает сама раскачиваться 2) существует сколь угодно много областей параметрического резонанса у данной системы. [c.549] Для построения фазового портрета нарисуем сначала график функции 2=[/(х). Затем нужно вычислить квадратные корни из суммы б +А и отложить их на фазовой плоскости вверх и вниз от оси х. [c.550] например, при х = 0 /(0)=а. Выберем к =—а (рис. 261). Тогда при х = 0 сумма 7 + /г1 = 0. Отложим на графике прямую 2=—к. Разность к=и—кх будет определять значение и /2 на фазовой плоскости. Для данного значения к на оси х фазовой плоскости получим три точки, где сумма и + к обращается в нуль (/, 2 и 3). Выбирая к Кки получим аналогичные точки 4, 5 и 6. При кз к2 получим точки 7 и 8. [c.550] Через точки 2 и 3 пройдет замкнутая фазовая траектория. Фазовая траектория, проходящая через точку 4, будет охватывать точку 7 и т. д. Точка 7 — особая точка. Особые точки фазовой плоскости соответствуют стационарным точкам графика функции г=и(х). Фазовые кривые, проходящие через особые точки, называются сепаратрисами. Сепаратрисы состоят из одной или нескольких ветвей, каждая из которых представляет собой отдельную траекторию. Они представляют собой граничные кривые, отделяющие области, заполненные траекториями различных типов. [c.551] Положения равновесия системы соответствуют стационарным значениям х). Устойчивыми положениями являются те, которые на фазовой плоскости оказываются окруженными замкнутыми кривыми, называемыми циклами, т. е. те, для которых силовая функция имеет в положении равновесия максимум. [c.551] Вернуться к основной статье