ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Частные случаи равновесия твердого тела из "Курс теоретической механики Издание 2 " Теорема. Три силы уравновешивают твердое тело только в том случае, когда все они расположены в одной плоскости. [c.136] Направление вектора момента пары определяется плоскостью треугольника, а потому при равновесии плоскости треугольников Si и S2 должны совпадать. Плоскости эти будут совпадать при приведении к любой точке на линии действия третьей силы. Это и доказывает теорему. [c.136] Пять остальных уравнений служат для определения шести неизвестных проекций сил реакции связи. Эта задача не может быть полностью разрешена из-за того, что уравнений оказывается меньше, чем неизвестных, подлежащих определению. Такого рода задачи называются статически неопределимыми. Равновесие твердого тела не изменится, если в точках О и О1 добавить две равные по величине и направленные в противоположные стороны по прямой 00 силы. Такие силы могут быть обусловлены начальными напряжениями. Если в точке 0 поставить цилиндрический подшипник так, чтобы реакция в точке О1 была направлена перпендикулярно к оси 2, то задача станет статическиопредели-м о й. Разрешить статически неопределимую задачу можно также, отказавшись от гипотезы абсолютно твердого тела, как это и делается в курсах сопротивления материалов. [c.138] Два первых и последнее уравнения дают необходимые условия равновесия твердого тела. Три остальных уравнения определяют силы реакции, действующие на твердое тело. Очевидно, что из трех уравнений можно определить только три неизвестные силы реакции. Задача определения сил реакции в том случае, когда твердое тело касается плоскости более чем тремя точками, не может быть разрешена методами статики абсолютно твердого тела и является статически неопределимой задачей. Для разрешения такого рода задач необходимо вводить дополнительные гипотезы. [c.138] Система уравнений (а) обладает решением только в том случае, когда определитель системы отличен от нуля, т. е. [c.139] Отсюда видно, что задача определения реакций разрешима только тогда, когда все три точки не лежат на одной прямой. Если это условие не выполняется, задача определения реакций становится неразрешимой, и мы снова приходим к статически неопределимой задаче. [c.139] Эти уравнения определяют центр системы параллельных векторов Яи Я2, Яг, который, как известно, находится внутри треугольника, образованного точками приложения этих векторов, т. е. точками соприкосновения тела и плоскости. Полученные условия равновесия сводятся к тому, что линия действия результирующей силы Р проходит внутри треугольника, образованного точками касания. [c.139] Последнее из этих уравнений дает условие равновесия активных сил, два первых уравнения служат для определения трех неизвестных реакций. Как уже отмечалось, задачи статики, в которых неизвестных больше, чем независимых уравнений равновесия, называются статически неопределимыми задачами. [c.140] Замечание. Статически неопределимые задачи могут стать статически определимыми, если систему частично освободить от некоторых связей. [c.141] Пример 38. Исследовать равновесие тяжелой абсолютно твердой палочки весом Р, закрепленной шарнирно в двух точках А и В (рис. 106). [c.141] Решение. Задача определения горизонтальных составляющих реакций в точках А и В оказывается неразрешимой (статически неопределимая задача). Если частично освободить палочку от связей, оставив в точке А шарнирное закрепление, а в точке 5 вместо шарнира ввести точечную опору, препятствующую перемещению палочки вниз, то задача станет статически определимой (предполагается, что палочка гладкая). Полученная статически определимая задача не эквивалентна первоначальной. [c.141] В общем случае статически неопределимые задачи могут быть сделаны определимыми, если вместо гипотезы абсолютно твердого тела ввести гипотезу упругого тела, подчиняющегося закону Гука. Такого рода задачи решаются в курсах теории упругости и сопротивления материалов. [c.141] При исследовании равновесия системы абсолютно твердых тел статическая неопределимость может возникнуть как некоторое предельное положение системы. [c.141] Пример 39. Исследовать равновесие системы, состоящей нз двух тяжелых однородных стержней, соединенных между собой шарнирно и закрепленных шарнирно в точках Л и В (рис, 107), предполагая, что расстояние между точками Л и В равно сумме длин стержней, так что оба стержня вытянуты в одну прямую линию. [c.141] Отсюда находим Yb=P 2, что при РфО противоречит полученным ранее результатам. Новых условий для определения реакции Хв и в этом случае не получаем. [c.142] Реакции теперь полностью определяются (реакция в точке Л находится из первой группы уравнений). Заметим, что при а- -0 величина реакции т, е. на стержень будут действовать очень больщие растягивающие силы. В реальной задаче стержни не являются абсолютно твердыми, и эти усилия растягивают стержень так, что угол а при равновесии имеет конечное значение, отличное от нуля. Дальнейшее развитие изложенных положений можно найти в оригинальной монографии Пэнлеве Лекции о трении . [c.142] Вернуться к основной статье