ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Касательные плоскости к линейчатым поверхностям из "Начертательная геометрия " В общем случае, переходя от точки к точке вдоль образующей, нормаль к поверхности будет менять свое направление. Вслед за вращением нормали начнет вращаться и касательная плоскость, причем осью вращения будет та образующая, вдоль которой движется точка касания (рис. 299) ). [c.200] Если же все нормали вдоль данной образующей параллельны между собой, то касательная плоскость при движении точки касания вдоль образующей остается неподвижной (рис. 300).В том случае, когда это условие выполняется для всех образующих, линейчатая поверхность будет развертывающейся. [c.200] Рассмотрим конкретные примеры построения касательной плоскости к некоторым линейчатым поверхностям. [c.200] Пример 1. Построить плоскость, касающуюся конуса п проходящую через точку А, лежащую на его поверхности (рис. 301). [c.201] Через точку М, лежащую на основании конуса, можно провести прямую, которая или пересекает основание, или касается его. Эта прямая будет горизонтальным следом простейшей секущей плоскости в первом случае и касательной плоскости во втором. [c.201] Аналогично, т. е. с помощью образующей АМ и следа Рн, определяется касательная плоскость к цилиндру, проходящая через точку А, заданную на его поверхности (рис. 302). [c.201] Задача допускает решение, если след М вспомогательной прямой не находится внутри основания конуса. [c.203] Рассмотрим теперь решение аналогичной задачи для цилиндра. Так как искомой плоскости должна принадлежать одна из образующих цилиндра (линия касания) и прямая, параллельная данной АВ, то для определения направления следов касательных плоскостей необходимо построить плоскость / , параллельную АВ и образующим цилиндра. Две искомые плоскости Р и будут параллельны / . На рис. 306 плоскость Я определена прямыми СМ и СУИ,. [c.204] Пример 3. Построить касательную плоскость к однополостному гиперболоиду вращения и проходящую через точку А на его поверхности. [c.204] Однополостный гиперболоид вращения— поверхность дважды линейчатая. Через каждую точку этой поверхности можно провести две прямолинейные образующие. Они-то и определяют искомую плоскость. [c.204] Касаясь поверхности в данной точке, эта плоскость пересекает гиперболоид по двум прямым. На рис. 307 горизонтальные проекции прямолинейных образующих построены как касательные к горловой окружности, проведенные из а. Фронтальные проекции этих прямых получены с помощью точек М и 1, в которых образующие пересекают нижнее основание гиперболоида. [c.204] Заметим, что касательная плоскость и к другой дважды линейчатой поверхности — гиперболическому параболоиду также определяется теми двумя прямолинейными образующими, которые проходят через заданную точку на поверхности. [c.204] Вернуться к основной статье