ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Взаимное пересечение многогранников из "Начертательная геометрия " Два многогранника могут пересекаться по одной или нескольким замкнутым ломаным линиям, для построения которых находят сначала точки пересечения ребер одного многогранника с гранями второго, а затем — ребер второго с гранями первого. Соединяя определенным образом полученные точки, строят искомую ломаную, каждое звено которой представляет собой прямую пересечения двух граней — грани первого многогранника с гранью второго. [c.116] построение линии пересечения двух многогранников сводится к решению задачи на пересечение прямой линии с многогранником. В предыдущем параграфе было показано, что для рационального решения этой задачи в одних условиях следует пользоваться проектирующими плоскостями, в других — простейшими секущими. К последним следует прибегать в том случае, если основания обоих многогранников расположены на одной плоскости. Построения оказываются менее сложными, если этой плоскостью является одна из плоскостей проекций. Рассмотрим применение метода простейших секущих плоскостей к построению линии пересечения пирамид и призм. [c.116] Для того чтобы избежать ошибок в сложных случаях пересечения многогранников, рекомендуется пользоваться определенным образом построенной сеткой. Такая сетка показана на рис. 203. Число вертикальных линий сетки должно быть больше на единицу числа боковых ребер первого многогранника, а горизонтальных прямых — на единицу больше числа боковых ребер второго многогранника. [c.118] В нашем случае пересечения двух треугольных пирамид проводим четыре вертикальные и четыре горизонтальные прямые. [c.118] Построив обе проекции треугольника 51 11 2, отмечаем точки пересечения проекций его сторон с одноименной проекцией ребра 52 . Так появляются проекции точек I и II — точек входа и выхода рёбра 52 . Аналогично находятся и остальные точки. Плоскости Р,, Рг и Рз, проходящие через ребра пирамиды 31АВС, не пересекают второго многогранника. Значит, ребра 51Л, 5,5 и 5,С не участвуют в пересечении. [c.119] Условимся районной плоскостью одного из двух пересекающихся многогранников называть такую плоскость из пучка простейших секущих, которая, проходя через ребро данного многогранника, не пересекает последнего. [c.120] Из пучка простейших секущих плоскостей для каждого многогранника, участвующего в пересечении, можно всегда выделить две районные плоскости. [c.120] На том же рисунке плоскости и представляют собой районные плоскости пирамиды З ОЕР. [c.121] Пусть на указанных рисунках плоскости Р, и Рз являются районными плоскостями первого многогранника, а и На—районными плоскостями второго. [c.122] На рис. 206 двугранный угол, образованный парой плоскостей и оказался внутри угла, гранями которого служат Р, и Р. Это значит, что все ребра второго многогранника будут пересекаться с гранями первого. Вторая пирамида насквозь пронизывает первую. Линия пересечения распадается на две замкнутые ломаные. В этом случае следы районных плоскостей одного многогранника оказываются между следами районных плоскостей другого (рис. 209, й). Обратимся теперь к рис. 207, где имеет место чередование районных плоскостей двух многогранников. В пересечении будут участвовать те части пирамид, которые расположены в общем двугранном угле, образованном плоскостями Р, и / а. На этот раз одна пирамида лишь частично врезана в другую. [c.122] Пересечете многогранников будет по одной замкнутой линии. Признаком этого случая явится чередование следов районных плоскостей (рис. 210, а). [c.123] Наконец, возможен еще и третий случай относительного расположения районных плоскостей (рис. 208), когда двугранные углы, образованные каждой парой районных плоскостей, не имеют общих частей, а значит, и многогранники, расположенные внутри этих углов, не могут иметь общих точек. Они не пересекаются. Полученные выводы справедливы для любого расположения оси пучка секущих плоскостей относительно плоскостей проекций и для иного сочетания пересекающихся многогранников (две призмы, пирамида и призма). [c.123] То же для случая пересечения по одной замкнутой изображено на рис. 210, б. [c.123] Пример построения такой линии дан на рис. 211. Соединяя вершины пирамид прямой линией, получаем ось пучка простейших секущих плоскостей и находим ее горизонтальный след М. Через точку М приведем следы районных плоскостей Р , Р21/ первого и второго многогранников. Чередование следов указывает на то, что искомая линия будет одной замкнутой. В пересечении примут участие те ребра, горизонтальные следы которых оказались внутри и на сторонах угла, образованного следами Р н и В нашем случае таких ребер три 5,6, 5(С и 8 . Точки входа и выхода каждого из них найдены с помощью простейших секущих плоскостей. [c.123] Параллельными друг другу будут и простейшие секущие плоскости для двух призм. Направление их следов находят обычно так через какую-либо точку К (рис. 214) проводят прямые и параллельные ребрам призм. Эти прямые определяют одну из плоскостей параллелизма Р для ребер пересекающихся призм. Простейшие секущие плоскости должны быть параллельны Р, а их горизонтальные следы будут параллельны Рц. Последний определен горизонтальными следами а, и лз прямых, проведенных через точку К. [c.126] Заметим, что плоскости / , и являясь районными для одной призмы, по отношению ко второй будут простейшими секущими. [c.127] Найденные точки легко соединить, так как все четные оказались на одной грани ВС, а нечетные — на грани АВ. Такой же результат будет получен и при пользовании составленной на рис. 214 сеткой. [c.127] Обратимся теперь к рис. 215, где изображено два многогранника, основания которых не лежат в одной плоскости. На этот раз точки пересечения ребер каждого многогранника с гранями другого придется искать с помощью проектирующих плоскостей, а не простейших секущих. [c.128] На рис. 216 заново повторена пирамида SAB и два ребра призмы DD и FF . Через каждое из них проведена вспомогательная фронтальная плоскость. Плоскость и, проходящая через ребро DDi, пересекает пирамиду по треугольнику LMN, фронтальная проекция 1 т п которого выделена штриховкой. [c.128] Сечением пирамиды второй плоскостью i/j, проведенной через FFi является треугольник LiM Nx. Ребро DD не участвует в пересечении, поскольку его фронтальная проекция d d[ не имеет общих точек с проекцией плоского ссченкя 1 гпн. [c.128] Вернуться к основной статье