ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Колебания связанных систем из "Физические основы механики " Когда частоты % и заметно отличаются одна от другой, картина получается очень сложной. Но она снова упрощается, если частота одного из колебаний в целое число раз больше частоты другого. Пусть, например, период Ту колебаний в направлении у вдвое больше, чем период колебаний в направлении х. По прошествии одного периода колебаний точка должна вернуться в исходное положение (так как за это же время прошло два периода и, следовательно, отклонение в направлении у также должно повториться). Поэтому траектория движения точки за период Ту замкнется. Но за время Ту точка дважды успеет пройти через крайние положения Х, и —А о и один раз через крайние положения Уд и —Следовательно, траектория будет два раза касаться прямых х -= а х = —Xq и один раз касаться прямых у= Ya 1 у= —Ко (рис. 408). [c.631] При других соотношениях между частотами колебаний по осям х я у вид траекторий будет усложняться. Однако во всех случаях, хотя вид траектории зависит от фаз обоих колебаний, но число точек касания определяется только отношением частот. Эти траектории носят название фигур Лиссажу. [c.631] При простых кратных отношениях между обеими частотами фигуры Лиссажу представляют собой замкнутые кривые, вписанные в прямоугольник со сторонами, равными удвоенным амплитудам происходяш,их колебаний. По числу касаний траектории сразу можно определить отношение частот колебаний. На рис. 409 приведен пример траектории, которая получается при некотором определенном соотношении фаз для частот, относящихся, как 1 3. Если между обеими частотами нет простого кратного отношения, то траектории двил ения являются незамкнутыми и вместо фигур Лиссажу получаются области, сплошь заполненные траекторией движущейся точки. [c.631] Кинематической иллюстрацией рассматриваемых случаев может служить картина, которую дает на экране пучок света, последо ательно отражающийся от двух камертонов, колеблющихся во взаим1ю перпендикулярных направлениях пятно на экране будет описывать фигуры Лиссажу. [c.631] Примером двух связанных колебательных систем могут служить две массы и mj, растянутые нц трех пружинах Ki, Къ Кя (рис. 410). [c.632] Чтобы избежать неопределенности, условимся о следующем положение каждой из двух связанных систем должно определяться при помоищ одной из тех двух координат, которыми определяется положение исходной системы с двумя степенями свободы. Зафиксируем значение первой из двух координат, определяющих положение системы с двумя степенями свободы тогда мы получим систему с одной степенью свободы, положение которой определяется второй из этих двух координат. Затем, зафиксировав значение второй из двух координат системы с двумя степенями свободы, мы получим систему с одной степенью свободы, положение которой определяется при помощи первой из двух координат. Для того чтобы выполнить эту процедуру, нужно закрепить тело так, чтобы эта координата не могла изменяться (в частности, можно закрепить тело в таком положении, в котором эта координата равна нулю). [c.632] МОЖНО иначе выбрать координаты, а сейчас рассмотрим поставленную задачу при выбранных ранее координатах исходной системы (г/i и у ). Мы ограничимся при этом только качественным рассмотрением (впрочем, из этого рассмотрения нетрудно будет установить способ количественного расчета задачи). [c.634] Для дальнейшего упрощения будем пока считать, что обе массы mj и m2 равны и все три пружины Ki, Кч и Кэ одинаковы, т. е. что обе парциальные системы идентичны, а значит, частоты их собственных колебаний совпадают. Когда обе массы не закреплены, то две одинаковые системы оказываются связанными между собой. Связь менаду ними обусловлена тем, что движение каждой из масс изменяет угол 2 меладу осью х и осью пружины Кг, поэтому и сила, с которой пружина Кг действует на одну из масс, зависит от положения другой массы. [c.634] Если обеим массам сообщены одинаковые начальные отклонения в разные стороны (рис. 415), то на каждую из масс действуют не только расположенные под одинаковым углом пружины Ki и Кз, но и пружина Ki- Силы, действующие иа каждую массу, будут не такие, как в первом случае, но для обеих масс они опять одинаковы. Поэтому и ускорения будут одинаковы массы будут двигаться так, что не только вначале, но и в любой момент их отклонения равны по величине и противоположны по знаку. Обе массы будут совершать гармонические колебания одной и той же частоты, но противоположные по фазе. [c.635] Частота противофазных колебаний выше парциальной частоты обеих связанных систем. Действительно, в этом случае составляющая силы натяжения пружины К2 в направлении оси у в каждый момент больше, чем в случае, когда одна из масс закреплена. Поэтому восстанавливающая сила больше и частота колебаний выше. [c.635] Как мы уже знаем, в результате сложения двух гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами и разными частотами получаются биения, в которых амплитуда колебании изменяется периодически от некоторого максимума до нуля. Амплитуда колебаний отклоненной вначале массы постепенно уменьшается, пока эта масса совсем не остановится. В это же время будет возрастать амплитуда колебаний второй массы (которая вначале не была отклонена). После того как первая масса остановится, снова начнется постепенное нарастание амплитуд колебаний этой массы и уменьшение амплитуд колебаний второй массы. Дальше вся эта картина будет повторяться. [c.637] Частота биений и скорость перекачки энергии зависят от того, как быстро изменяется сдвиг фаз между движениями двух масс, т. е. насколько отличаются друг от друга частоты нормальных колебаний. Чем больше их разность, тем больше скорость изменения сдвига фаз, т. е. частота биений, и тем быстрее происходит перекачка энергии (полная перекачка энергии происходит за полпериода биений). Чтобы выяснить, от чего зависит разность частот нормальных колебаний, вернемся к нашей первой модели (рис. 410). [c.637] В рассматриваемом случае, когда парциальные системы одинаковы, их парциальные частоты совпадают и по мере ослабления связи нормальные частоты сколь угодно приближаются друг к другу, а значит, биения могут быть сколь угодно медленными. С другой стороны, если амплитуды обоих нормальных колебаний одинаковы, то амплитуда колебаний каждой массы будет по очереди периодически падать до нуля независимо от того, насколько слаба связь между системами с одной степенью свободы. Следовательно, при сколь угодно слабой связи должна происходить полная перекачка энергии из одной системы в другую и обратно. Но так как при очень слабой связи период биений очень велик, а энергия полностью переходит из одной системы в другую за полпериода биений, то перекачка энергии будет происходить очень медленно. Если потери энергии в связанных системах велики, то колебания в них могут успеть полностью затухнуть за время меньшее, чем полпериода биений. Тогда биения наблюдаться не будут. Напомним, что все сказанное относится к случаю, когда обе парциальные системы одинаковы. Случай неодинаковых парциальных систем рассмотрен в следующем параграфе. [c.638] Вернуться к основной статье