ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Напряжения в точке из "Физические основы механики " Как уже указывалось выше, закон Гука справедлив для всех упругих тел, но только пока деформации не превосходят предела пропорциональности. Обычно при рассмотрении задач механики упругих тел предполагают, что деформации не превосходят этого предела. Это упр01цает все расчеты и позволяет применять принцип суперпозиции, который заключается в следующем. Представим себе, что мы подвергли тело какой-либо деформации, например растяжению, а затем другой деформации, например сдвигу. Пока предел пропорциональности не достигнут, модули и G, характеризующие упругие свойства тела, являются константами, не зависящими от того, деформировано уже тело или нет. Поэтому при сдвиге в теле возникнут такие же дополнительные напряжения т = G как и в том случае, если бы тело не было предварительно растянуто. Общее напряжение в теле будет представлять собой сумму тех напряжений, которые возникли бы, если бы тело было подвергнуто только растяжению или только сдвигу. Это и есть принцип суперпозиции (наложения) в применении к нашему конкретному случаю. Он справедлив потому, что упругие свойства тела не зависят от деформации (почему и соблюдается закон Гука). Пока всякая новая деформация вызывает такие же добавочные напряжения, как в отсутствие прежних деформаций, в результате многих деформаций получается напряжение, равное сумме всех тех напряжений, которые возникли бы, если бы каждая из деформаций существовала отдельно. [c.471] Как было указано ( 106), любую малую деформацию в теле можно представить в виде суммы элементарных деформаций растяжения и сдвига. Следовательно (это вытекает из принципа суперпозиции), напряжения, возникающие при любой деформации, мы можем представить в виде суммы напряжений, возршкающих при элементарных деформациях растяжения и сдвига. [c.471] В механике сплошных тел приходится определять внешние силы, действующие на рассматриваемый элемент тела со стороны соседних. Эти силы действуют через площадки, служащие границами данного элемента упругие напряжения определяют величину и направление тех сил, которые действуют на ту или иную площадку. [c.471] В простейшем случае однородного растяжения или сжатия, зная одно только нормальное напряжение в плоскости S, мы сразу сможем определить силу, действующую на ту или иную площадку Д.5, параллельную плоскости S. Эта сила Д/ = оД5 направление ее нормально к площадке, поскольку на данной площадке существует только нормальное напряжение. [c.471] А/ = tAS, но о направлении этой силы мы можем сказать только то, что она лежит в плоскости 5 (поскольку напряжение тангенциально). Мы определим направление этой тангенциальной силы, задав две величины — две компоненты тангенциального напряжения — по двум взаимно перпендикулярным направлениям, лежащим в плоскости площадки AS. Умнол ая каждое из напряжений на величину площадки, мы получим две компоненты тангенциальной силы, действующей на площадку AS, и тем самым определим величину и направление силы А/. [c.472] В общем случае произвольной деформации сила, действующая на площадку, может быть ориентирована как угодно. Чтобы определить ее величину и направление, нужно знать три компоненты этой силы по трем заданным направлениям. Для нахождения этих трех компонент нужно задать три величины — три компоненты напряжения на данной площадке нормальную и две тангенциальные. Умножая их на величину площадки, мы и найдем три компоненты вектора силы, действующей на данную площадку, — нормальную и две тангенциальные. [c.472] Таким образом, для того чтобы определить силу, действующую на данную определенную площадку, нужрю знать три напряжения для данной площадки. Но площадки, служащие границами рассматриваемого элемента сплошного тела, могут быть расположены как угодно. Чтобы найти внешние силы, действующие на данный элемент, нам придется находить силы, действующие на любую площадку, находящуюся в данной точке тела, но произвольно ориентированную. Ясно, однако, что напряжение для данной площадки зависит от выбора площадки, к которой мы это напряжение относим. [c.472] В приведенных примерах однородной деформации напряжение для всех отдельных элементов данного сечения S (или S ) одинаково. Поэтому мы могли говорить о напряженин для всей площадки конечных размеров (S или S). Однако при неоднородной деформации напряженке для отдельных малых элементов площадки, вообще говоря, различно. В таком случае, как уже указывалось, для определения напряжения нужно брать бесконечно малые площадки dS. Положение такой бесконечно. малой площадки можно определять одной точкой, принадлежащей этой площадке, и ориентировкой площадки. Для каждой точки тела существует бесчисленное множество таких бесконечно малых площадок, различным образом ориентированных. Поскольку напряжение для этих различных площадок зависит от их ориентировки, то напряжение, отнесенное к определенной площадке, еще не характеризует тех сил, которые действуют на любую площадку в данной точке. Только в том случае, когда могут быть определены напряжения для всевозможных малых площадок, лежащих в данной точке тела, напряженное состояние в этой точке будет полностью определено. [c.473] В рассмотренном выше простейшем случае равномерного растяжения, зная одну величину а, ГчЫ сразу могли бы найти напряжение для любой площадки, ориентированной известным образом. Заданием одного нормальрюго напряжения для одной площадки мы вполне характеризуем напряжение в любой точке тела. В общем же случае неоднородных деформаций должны быть заданы напряжения для трех взаимно перпендикулярных площадок. Тогда по этим напряжениям может быть найдено напряжение для любой площадки. Но напряжения для каждой данной площадки, как уже было указано, в свою очередь должны быть заданы тремя величинами (одним нормальным и двумя тангенциальными напряжениями). Следовательно, для определения напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках должны быть заданы девять величин — три нормальных напряжения и шесть тангенциальных. Однако не все эти напряжения независимы при статических деформациях три тангенциальных напряжения из плести должны быть попарно равны. Поэтому для характеристики напряжения в данной точке требуется задание не девяти, а только шести величин. [c.473] Напишем сначала уравнение моментов, выбрав в качестве оси прямую, проходящую через середину грани S (точка С — след этой прямой). Так как напряжения по всей площадке одни и те же (мы всегда можем выбрать столь малые площадки), то равнодействующие сил, действующих на все грани, приложены к центрам граней. [c.474] Тангенциальные напряжения на взаимно перпендикулярных гранях должны быть равны. Это и есть одвю из тех соотношений, которые существуют между компонентами напряжений на взаимно перпендикулярных гранях и уменьшают число независимых величии, необходимых для определения напряжения в данной точке. [c.474] Вернуться к основной статье