ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Определение случайных процессов и их характеристики из "Вероятностные методы динамического расчета машиностроительных конструкций " Случайные процессы разделяются на два вида стационарные и нестационарные. Теории этих двух видов случайных процессов существенно различны. Математическая сторона обоих видов случайных процессов хорошо разработана, но наибольшее применение в технических приложениях получила теория стационарных случайных процессов. Эта теория в отличие от теории нестационарных процессов не связана с очень большими математическими трудностями и трудностями вычислительного характера. К тому же для получения статистических характеристик стационарных процессов не требуется располагать большим числом экспериментальных записей-реализаций, описывающих один и тот же физический процесс при сходных условиях. [c.6] Основной задачей теории случайных процессов является отыскание статистических характеристик, связывающих различные реализации, описывающие одно и то же физическое явление, Каждая реализация случайного процесса Х Ц представляет собой функцию времени (или координат), значения которой могут быть получены экспериментально. Значения случайной функции X(t в любые моменты времени являются случайными величи-иами. [c.6] Функции распределения вероятностей. Располагая реализациями одного и того же физического явления, наблюдаемого при одном и том же комплексе условий, можно установить зависящие от времени функции распределения вероятностей, которые будут полностью определять процесс в статистическом смысле. [c.6] Эта функция Рп(хи. .., х ,. .., / ) определяет вероятность того, что значения случайного процесса Х 1) в моменты времени / . , tn будут соответственно не больше Х, ..л . [c.7] Совокупность п функций распределения от конечного числа переменных не дает исчерпывающей статистической характеристики случайного процесса, хотя информацию об этом процессе мы получаем достаточно полную. Очевидно, что исчерпывающей характеристикой случайного процесса будет бесконечная последовательность функций распределения. Отыскание всех функций распределения представляет собой практически неосуществимую задачу, поэтому при изучении случайных процессов в подавляющем большинстве случаев приходится ограничиваться рассмотрением простейших численных характеристик многомерных функций распределений. Этими простейшими характеристиками для стационарных случайных процессов являются первый и второй моменты распределения. [c.8] Если имеется два случайных процесса Х(1) и ), которые статистически связаны между собой, то можно вычислить плотности совместных распределений значений Х () и У t) в различные моменты времени. Совместная плотность распределения 2 х1, /ь у и г) определяет вероятность сложного события, которое заключается в том, что при t=tl X il) Xl и при t=U У(4) г/1. Подобным образом можно определить совместные п-мерные плотности распределения для ряда значений Хх,. .., п Уи. . ., Уп в различные моменты времени. [c.8] Если совместные плотности распределения зависят от одинакового сдвига т моментов времени 4 вдоль оси времени, то процессы Х ) и У () называются стационарно связанными. [c.8] Важным свойством стационарных процессов является их эргодичность. Случайный процесс называется зргодичным, если любая его реализация имеет одни и те же статистические свойства. Поэтому статистическая характеристика, полученная усреднением по множеству реализаций, равна характеристике, полученной усреднением процесса по времени. Это свойство стационарных случайных процессов чрезвычайно важно для практических приложений, так как статистические характеристики процесса могут быть вычислены из одной реализации процесса, записанной в течение достаточно длительного промежутка времени. А. Я- Хинчиным при общих предположениях доказано, что многие стационарные случайные процессы являются эргодич-ными [134]. [c.9] Символ М[.. . ] означает математическое ожидание или среднее значение. В данном случае производится усреднение по совокупности реализаций. [c.9] Как следует из этой формулы, среднее значение случайного процесса является функцией времени. [c.9] Математическое ожидание или среднее значение случайного процесса определяет некоторую среднюю функцию, вблизи которой группируются все реализации случайного процесса, (рис. 1.1). [c.10] Если среднее случайного процесса равно нулю, то корреляционная функция совпадает со вторым моментом [см. (1.11)]. Очевидно, что достаточно полно случайный процесс можно описать последовательностью корреляционных функций Kx t, U),-Kx tu h, ti)... /Сж( 1. i ) . Таким образом, для полного описания случайного процесса необходимо задать либо совокупность функций распределения, либо полную систему корреляционных функций. Как видно из предыдущего, эти функции взаимосвязаны. [c.11] Рассмотрим теперь эргодический непрерывный стационарный процесс, для которого среднее равно onst. В этом случае усреднение по совокупности реализаций можно заменить усреднением процесса по времени, воспользовавшись только одной реализацией. [c.12] Обычно для решения очень многих практических задач достаточно ограничиться изучением среднего значения процесса и его корреляционной функции, которые для стационарных эрго-дических процессов с нормальным законом распределения можно считать исчерпывающими характеристиками процесса. Теория, которая оперирует только этими характеристиками [ Х(/) и Л гс( )], называется корреляционной теорией случайных процессов. В рамках этой теории стационарными считаются все случайные процессы, у которых среднее значение и дисперсия постоянны, а корреляционная функция зависит только от разности tz— /i = t. [c.12] Свойства корреляционной функции. Нормированная корреляционная функция. Рассмотрим некоторые свойства корреляционной функции стационарных случайных процессов. [c.12] К хЧ )—корреляционная функция периодической составляющей. [c.13] Таким образом, характеристики случайного процесса выражаются через детерминированные (неслучайные) функции, какими являются среднее значение и корреляционная функция. [c.14] Очевидно, что 0 г(м) так же, как и Кх ), неслучайная функция, которая называется спектральной плотностью случайного процесса X (). [c.15] Величину С,т((й) называют еще энергетическим спектром стационарного случайного процесса. Этот спектр дает картину распределения энергии процесса по частотам гармонических составляющих без учета их мгновенных фаз. Разумеется, что приведенное замечание относится только к процессам, для которых понятие энергии и мощности имеет определенный физический смысл. [c.15] Если в формуле (1.32) заменить Кх( ) на нормированную корреляционную функцию, то получим нормированную спектральную плотность случайного процесса. [c.15] Вернуться к основной статье