ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Преобразование Лапласа из "Регулирование производственных процессов " Преобразование Лапласа представляет собой математический метод, позволяющий относительно просто решать линейные дифференциальные уравнения. В результате преобразования дифференциальное уравнение (оригинал) приобретает форму алгебраического уравнения (изображение), в котором в качестве независимого переменного вместо времени используется комплексное переменное s. Решение исходного дифференциального уравнения отыскивается посредством применения к решению указанного алгебраического уравнения обратного преобразования Лапласа. Уравнения переходного процесса в системе автоматического регулирования, как правило, решаются этим методом, чему в большой мере способствует наличие достаточно полных таблиц преобразований Лапласа. Другая причина широкого распространения метода преобразования Лапласа состоит в том, что по выражению для передаточной функции системы, которая определяется как отнонтение преобразованного по Лапласу выходного сигнала к входному, также преобразованному по Лапласу, можно непосредственно получить частотные характеристики системы. Любое количественное исследование систе.мы автоматического регулирования начинается с определения передаточных функций каждого элемента структурной схемы системы. [c.29] Изображение зависимой непременной х принято записывать в виде X или X (5). Использование заглавных букв и добавление знака (х) указывает, что уравнение преобразовано по Лапласу. Однако уже само появление в уравнении переменной 5 указывает, что исходное уравнение преобразовано, так что в общем случае в исходном и преобразованном уравнениях можно использовать одно и то же обозначение л . [c.30] Как правило, отыскивать изображение можно, не прибегая к интегрированию в соответствии с уравнением (2-1), так как имеются достаточно полные таблицы преобразований. Данных, приведенных в табл. 2-1, достаточно для преобразования любых уравнений, встречающихся в настоящей книге ряд широко распространенных преобразований приведен также в выражениях (2-4)-(2-9). [c.30] В большинстве задач автоматического регулирования начальные значения функции и ее производных равны нулю, что существенно облегчает преобразования. [c.31] Если начальные значения равны гуо = 0 и г/ о Л, то 4V + 25 + 3)y(s)=5X(s). [c.32] С практической точки зрения преобразование Лапласа можно рассматривать как математический прием, который можно применять для решения дифференциальных уравнений, не вдаваясь в физический смысл преобразования, хотя может оказаться полезным представлять себе переменную б как эквивалент оператора D, обозначающего операцию дифференцирования. Теория и практические вопросы применения преобразования Лапласа рассматриваются в книге Черчилля [Л. 1] и в ряде книг по автоматическому регулированшо [Л. 2, 3]. [c.32] Общая процедура решения дифференциального уравнения методом преобразования Лапласа состоит в следующем сначала отыскиваются изобралсеиия для всех членов уравнения, затем полученное в результате алгебраическое уравнение решается относительно переменной S и при помощи таблиц производится обратное преобразование полученного решения. [c.32] Решение может быть получено и по менее полной таблице изображений, приведенной в настоящей книге, если выражение для X представить в виде суммы простых дробей. [c.33] Фактически основная задача, возникающая при получении обратного преобразования, состоит в разложении полинома знаменателя изображения на простые сомножители. Полные таблицы изображений позволяют находить оригиналы для больщинства возможных дробнорациональных выражений, содержащих до четырех корней, так что при этом разложение изображения на простые дроби не является необходимым. Для выражений более высокого порядка разложение полинома знаменателя на простые сомножители — операция настолько сложная, что обычно для упрощения исходного уравнения прибегают к аппроксимациям либо решают уравнение на аналоговой вычислительной машине. [c.34] Вернуться к основной статье