ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Понятие о напряжении в точке. Тензор напряжений из "Краткий курс теории упругости и пластичности " При действии внешних сил упругие тела деформируются, в результате меняется расстояние между его отдельными точками, что приводит к возникновению внутренних сил. [c.6] Напряжение — величина векторная и может быть представлена как функция векторного аргумента, определяемого направлением нормали к площадке. В пространстве напряжение, как всякий вектор, характеризуется тремя его составляющими, зависящими только от координат х, у, г, если напряжения в точке одинаковы для всех проведенных через нее площадок. Однако величина напряжений в различных площадках, проведенных через данную точку, непостоянна. Поэтому напряжения в какой-либо точке тела характеризуются не только координатами точки, но и ориентацией площадки, определяемой направлением внещ-ней нормали. Если площадка в системе прямоугольных координат X, у, г определяется нормалью N и не совпадает ни с одной из координатных плоскостей (рис. 1,а), вектор полных напряжений Р может быть разложен по направляющим осям на Рпх, Рпу, Рщ. Вектор Рп может быть разложен также на составляющие нормальное напряжение, направленное по нормали к площадке Сп, и касательное напряжение %п, которое в свою очередь можно разложить на составляющие Хпх и Хпу, параллельные координатным осям х и у (рис. 1,6). [c.6] Нормальные напряжения принято считать положительными, если они растягивающие, и отрицательными, если они сжимающие. Касательные напряжения площадки положительны, если они, как и нормальные, дают положительную проекцию на соответствующую ось. Если растягивающее нормальное напряжение дает отрицательную проекцию, то положительное касательное на-. пряжение тоже должно давать отрицательную проекцию на соответствующую ось. На рис. 2 показаны положительные касательные напряжения, действующие на видимых сторонах параллелепипеда. [c.7] Величины, входящие в каждую строчку матрицы — проекции напряжений по взаимно перпендикулярным площадкам, у которых нормальные напряжения обозначены индексом, совпадающим с направлением координатной оси, перпендикулярным плоскости действия напряжений, а касательные напряжения — двумя индексами первый показывает плоскость, в которой действуют напряжения, второй — направление напряжений. [c.7] Тензор характеризует сразу три напряжения по трем взаимно перпендикулярным площадкам и используется для описания физических явлений и процессов, происходящих в упругой среде. В механике сплошной среды используется трехмерное евклидово пространство с различными системами координат. Примененный для описания напряженного состояния точки тензор напряжений инвариантен относительно преобразования прямоугольных координатных осей. Тензор напряжений симметричный, так как коэффициенты матрицы симметричны относительно главной диагонали и равны между собой. Задать тензор напряжений— значит определить напряженное состояние в данной точке тела. В частных случаях напряженное состояние точки определяет напряженное состояние всего тела (при простом растяжении — сжатии), такое напряженное состояние называется однородным. [c.8] Во многих случаях напряженное состояние меняется при переходе от одной точки к другой. Это неоднородное напряженное состояние. Следует различать напряженное состояние точки (задается тензором напряжений) и напряженное состояние тела (определяется тензорным полем). Тензорное поле отличается от скалярного и векторного полей. Пример скалярного поля — распределение температуры в теле, а векторного поля — распределение сил инерции в теле и скоростей движущейся жидкости. Поле напряжений не может быть скалярным или векторным, оно может быть тензорным. При изгибе балки напряжение в сечении меняется в зависимости от длины и расположения точки от нейтральной оси. [c.8] Матрица показывает, что элемент в точке тела испытывает равное растяжение по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Любая площадка, проведенная через такую напряженную точку, является главной. Такой тензор напряжений называется шаровым, а оо — средними напряжениями. [c.8] Пусть заданы все компоненты тензора напряжений для данной точки. Известны нормальные и касательные напряжения по трем ортогональным граням бесконечно малого параллелепипеда. [c.8] Эти уравнения получены Коши. Они связывают проекции на оси координат полных напряжений с напряжениями, действующими по трем взаимно перпендикулярным площадкам. Если элемент выделен на поверхности тела и Рлг — интенсивность внешней нагрузки, то уравнения (1.3) называются условиями на поверхности. [c.9] Решение этого уравнения дает три вещественных корня оц Ог, Оз (при этом 01 а2 (Тз)- Эти три напряжения называются главными. Внося последовательно эти корни в уравнения (1.4) и присоединив к ним уравнение (1.5), находят величины направляющих косинусов для каждого главного напряжения. Определив напрявляющие косинусы, можно заключить, что главные площадки, соответствующие значениям главных напряжений о, 02, Оз, являются взаимно перпендикулярными. Значения главных напряжений не могут зависеть от направления осей координат, поэтому коэффициенты уравнения (1.4) Яь аг, аз должны сохранить свои величины при любом выборе осей координат. Многочлены, образующие эти коэффициенты, называют инвариантами преобразования координат. [c.10] Рассмотрим напряженное тело, находящееся в равновесии с внешними объемными и поверхностными силами. Выделим в теле около некоторой точки бесконечно малый параллелепипед, грани которого параллельны координатным осям (рис. 5). На гранях параллелепипеда действуют напряжения, которые раскладываются по направлению координатных осей одно нормальное, два касательных. [c.11] Напряжения в точке — функция координат точки. Поэтому напряжения в параллельных гранях параллелепипеда будут разные. Кроме напряжений по граням параллелепипеда, на них еще будут действовать объемные силы (X, V, 2). Выделенный параллелепипед должен быть в равновесии. Из уравнений моментов относительно оси, параллельной у, можно получить известный закон парности касательных напряжений т г = Т2я. [c.11] Для решения задачи определения напряжений, возникающих в теле под действием заданных сил, нужно найти функции компонентов напряжений (Ох, Оу, Ог, Хху, Тхг, Туг), удовлвтворяющие дифференциальным уравнениям равновесия и условиям на поверхности (1.3) в любой точке тела. [c.12] Три уравнения (1.8) не дают однозначного решения, так как в них входят шесть неизвестных функций напряжений. Поэтому можно подобрать множество разнообразных решений уравнений (1.8), в которые войдет достаточное число произвольных постоянных, дающих возможность удовлетворить условиям на поверхности (1.3). Значит, всякая задача определения напряжений по внешним силам — статически неопределима. Для ее решения необходимо составить дополнительные уравнения совместности деформаций. [c.12] В результате деформации тела его точки получают перемещение, которое определяется вектором (начало его — точка тела до деформации, конец — точка тела после деформации). Как всякий вектор, перемещение может быть определено его проекциями по координатным осям (u,v,w). [c.12] Положим, что точка М в результате деформации тела переместилась в положение Л11 (рис. 6). Этот вектор перемещения разложим по координатным осям. Полное перемещение есть геометрическая сумма соответствующих проекций вектора ММ. [c.12] Если считать перемещения малыми, то эти приращения можно рассматривать как частные дифференциалы. [c.13] Аналогично можно получить относительные удлинения ребер АС и АО-. [c.13] Шесть компонентов деформаций, выраженных через три компонента перемещений в зависимости (1-9), можно рассматривать как систему дифференциальных уравнений в частных производных относительно перемещений и, V, т, если компоненты деформации (Ех, Еу, EZ, Уху, Уух и Ужг) ЯВЛЯЮТСЯ ЗЭДаННЫМИ фуНКЦИЯМИ X, у, 2. Поскольку имеется шесть уравнений относительно трех неизвестных функций, то в общем случае нельзя считать, что эти уравнения будут иметь решения при произвольном выборе компонентов деформаций. На компоненты деформации должны быть наложены условия, позволяющие этим шести уравнениям дать систему однозначных непрерывных решений для трех компонентов перемещений. Если произвольно задать компоненты деформаций ех, Еу, Ег, Уху, Ууг И ужг), ТО упругое тело, мысленно раз-битое на малые элементарные параллелепипеды после их деформации, может потерять сплошность, иметь разрывы. [c.15] Эта зависимость связывает относительные удлинения со сдвигом. Произведем круговую подстановку индексов, получим еще два аналогичных уравнения. [c.15] Вернуться к основной статье